ゲート

ゲート#

これまではコンピューターにおいて重要な記数法である2進数について学んだ。そして、0と1のビットを使って、数値や文字などのデータを表現する方法についても触れた。

ここでは、2進数の計算を行うための装置であるゲートについて学ぶ。

学習の目標は次の通りである：

  • 真理値表，論理式、記号を使って基本的な論理ゲートを理解する

  • AND，OR，NOT，XOR，NAND，NORゲートの動作を理解する

ブール演算#

ビットは一般的に0または1と表現されるが，FalseまたはTrueという真理値としての表現もよく使われる．

このような真理値（0と1）を扱うための数学的な体系をブール代数（Boolean algebra）と呼ぶ．ブール代数は，イギリスの数学者ジョージ・ブール（George Boole）によって考案された．ブール演算は，AND，OR，NOT，XORなどの論理演算子を使って真偽値を操作する．

ゲート#

コンピューターでは，ゲート（gate，論理ゲート，logic gate）と呼ばれる装置を使ってブール演算を実行する．ゲートは，一つまたは複数の入力信号を受け取り，それらの信号を処理して出力信号を生成する．

ここでは，以下の基本的な論理ゲートを紹介する．

  • OR

  • AND

  • NOT

  • XOR

  • NAND

  • NOR

これらのゲートをの紹介には，論理式，真理値表，記号を使う．

  • 論理式（Boolean expressions）は，数学記号を使って，数式で真理値の演算を表現する．

  • 真理値表（truth table）は，ゲートのすべての入力組み合わせに対して，出力の真理値を示す表である．

  • 記号（MIL symbols）は，論理ゲートを図で表現するための記号である．CircuitVerseという論理回路のシミュレータを使って、ゲートの動作を視覚的に確認することもできる。

ORゲート#

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき，\(A\)と\(B\)の論理和（logical disjunction）は，\(A \lor B\)と書く．

\(A\)と\(B\)の少なくとも一方が\(1\)のとき，\(A \lor B = 1\)となる．

論理和の真理値表は以下の通りである．

\(A\)

\(B\)

\(A \lor B\)

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

論理和の演算を行うORゲートは次の記号で表現される．

OR Gate

Fig. 86 ORゲート#

ANDゲート#

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき，\(A\)と\(B\)の論理積（logical conjunction）は，\(A \land B\)と書く．

\(A\)と\(B\)の両方が\(1\)のとき，\(A \land B = 1\)となる．

論理積の真理値表は以下の通りである．

\(A\)

\(B\)

\(A \land B\)

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

論理積の演算を行うANDゲートは次の記号で表現される．

AND Gate

Fig. 87 ANDゲート#

NOTゲート#

\(A\)を真理値とするとき，\(A\)の否定（logical negation）は，\(\lnot p\)と書く．

\(A\)が\(1\)のとき，\(\lnot A = 0\)となり，\(A\)が\(0\)のとき，\(\lnot A = 1\)となる．

否定の真理値表は以下の通りである．

\(A\)

\(\lnot p\)

0

1

1

0

否定の演算を行うNOTゲートは次の記号で表現される．

NOT Gate

Fig. 88 NOTゲート#

XORゲート#

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき，\(A\)と\(B\)の排他的論理和（exclusive or）は，\(A \oplus B\)と書く．

\(A\)と\(B\)のうち一方だけが\(1\)のとき，\(A \oplus B = 1\)となる．

排他的論理和の真理値表は以下の通りである．

A

B

A XOR B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

排他的論理和の演算を行うXORゲートは次の記号で表現される．

XOR Gate

Fig. 89 XORゲート#

NANDゲート#

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき、\(A\)と\(B\)の否定論理積は、\(A \uparrow B\)と書書く。NANDはNot ANDの略で、ANDゲートの出力を否定したものである。

\[ A \uparrow B = \lnot (A \land B) \]

否定論理積の真理値表は以下の通りである。

\(A\)

\(B\)

\(A \uparrow B\)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

否定論理積の演算を行うNANDゲートは次の記号で表現される。

NAND Gate

Fig. 90 NANDゲート#

NORゲート#

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき、\(A\)と\(B\)の否定論理和は、\(A \downarrow B\)と書く。NORはNot ORの略で、ORゲートの出力を否定したものである。

\[ A \downarrow B = \lnot (A \lor B) \]

否定論理和の真理値表は以下の通りである。

\(A\)

\(B\)

\(A \downarrow B\)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

否定論理和の演算を行うNORゲートは次の記号で表現される。

NOR Gate

Fig. 91 NORゲート#

まとめ#

  • ANDゲートは、両方の入力が1のときに出力が1になる。

  • ORゲートは、少なくとも一方の入力が1のときに出力が1になる。

  • NOTゲートは、入力が1のときに出力が0になり、入力が0のときに出力が1になる。

  • XORゲートは、入力のうち一方だけが1のときに出力が1になる。

  • NANDゲートは、ANDゲートの出力を否定したもので、両方の入力が1のときに出力が0になる。

  • NORゲートは、ORゲートの出力を否定したもので、両方の入力が0のときに出力が1になる。

ゲート

記号

AND

\(A \land B\)

OR

\(A \lor B\)

NOT

\(\lnot A\)

XOR

\(A \oplus B\)

NAND

\(A \uparrow B\)

NOR

\(A \downarrow B\)

プログラミング言語での論理演算#

C言語では、真理値は整数型で表現され、0は偽（False）、1は真（True）として扱われる。

以下のC言語のコードは，2 > 1が真であり、1を出力する．2 < 1が偽であり、0を出力する．

#include <stdio.h>

int main() {  
  printf("%d\n", 2 > 1); // 1
  printf("%d\n", 2 < 1); // 0
  return 0;
}

Pythonでは，TrueとFalseを使って真理値を表現する．

以下のPythonのコードは、2 > 1が真であり、Trueを出力する．2 < 1が偽であり、Falseを出力する．

print(2 > 1)  # True
print(2 < 1)  # False

C言語では、論理和の演算は||演算子を使って表現される．例えば、A || Bは、\(A\)または\(B\)のいずれかが真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A OR B = %d\n", A || B); // 出力: 1
    return 0;
}

C言語では、論理積の演算は&&演算子を使って表現される．例えば、A && Bは、\(A\)と\(B\)の両方が真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A AND B = %d\n", A && B); // 出力: 0
    return 0;
}

C言語では、否定の演算は!演算子を使って表現される．例えば、!Aは、\(A\)が真である場合に偽を返し、\(A\)が偽である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    printf("NOT A = %d\n", !A); // 出力: 0
    return 0;
}

やってみよう#

ユーザーから2つの真理値（0または1）を入力として受け取り、AND、OR、NOT、XORの演算結果を表示するC言語のプログラムを作成してみよう。

作成したプログラムを実行すると、次のような出力が得られる。Enter AとEnter Bの後に、0または1を入力することができる。

Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.
Enter A: __1__
Enter B: __0__
A = 1, B = 0

*** Logical Operations ***
A AND B = 0
A OR B = 1
NOT A = 0
A XOR B = 1

解答例#

#include <stdio.h>

int main() {
    int A, B;
    printf("Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.\n");
    printf("Enter A: ");
    scanf("%d", &A);
    printf("Enter B: ");
    scanf("%d", &B);
    printf("A = %d, B = %d\n", A, B);

    printf("*** Logical Operations ***\n");
    printf("A AND B = %d\n", A && B);
    printf("A OR B = %d\n", A || B);
    printf("NOT A = %d\n", !A);
    printf("A XOR B = %d\n", A ^ B);
    return 0;
}
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