45 記数法
凡算之法，先識其位．
– 「孫子算経」
古代中国では，算木を用いて計算が行われていた．現存する最古の算木は，戦国時代末期のものである．
「孫子算経」では，算木の位置によって数を表現する方法が説明されており，「凡算之法，先識其位」とは，「凡そ算の法は，其の位を識るを先とす」と訳される．
算木は算籌とも呼ばれる．経営工学における中心的な学問であるオペレーションズ・リサーチ（Operations Research，OR）の中国語訳は「運籌学」である．運籌の語源は史記の「運籌策帷幄之中決勝千里之外」に由来する．これは，「籌を帷幄に運らし，勝ちを千里の外に決す」という意味である．
ここでは，10進数，2進数，8進数，16進数の記数法について学ぶ．学習の目標は次の通りである：
- 位取り記数法を理解する
- 任意の記数法から10進数への変換ができる
- 10進数から他の記数法への変換ができる
- 2進数，8進数，16進数の相互変換ができる
- ビットとバイトの概念を理解する
45.1 10進数
私たちが日常的に使っている10進法は，0から9の数字を用いて数を表現する．各数字の位置によってその値が決まる．例えば，123という数は，以下のように表現される：
\[ 123 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \]
このように，各数字の位置によってその値が決まる記数法を位取り記数法（くらいどりきすうほう，positional notation）と呼ぶ．
一般に，\(d_n\)をn桁目の数字，\(N\)を10進数の数とすると，以下の式が成り立つ：
\[ N = d_n \times 10^{n-1} + d_{n-1} \times 10^{n-2} + \ldots + d_1 \times 10^0 \]
45.2 他の記数法と底
底（base）とは，使用する数字の種類の数である．10進法では0から9までの10種類の数字を使用するため，底は10である．
- 2進法では0と1の2種類の数字を使用し，底は2である．
- 8進法では0から7までの8種類の数字を使用し，底は8である．
- 16進法では0から9とAからFまでの16種類の数字を使用し，底は16である．
2進法は，2を底とする位取り記数法であり，0と1を使用し，数を表現する．そのため，0, 1の次には1桁を追加して10となり，次は11，100，101と続く．
以下に，10進数，2進数，8進数，16進数の対応表を示す：
| 10進数 | 2進数 | 8進数 | 16進数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
ここからは，下付き文字を用いて，底を示すことにする．例えば，2進数の101は，\(\texttt{101}_2\)と表記する．10進数の123は，\(\texttt{123}_{10}\)と表記する．
45.3 他の記数法から10進数への変換
上記の表を見るとわかるように，2進数2桁目の1は10進数の2で，3桁目の1は10進数の\(2^2\)である．つまり，2進数を10進数に変換する際は，下記のように計算することができる：
\[ d_n \times 2^{n-1} + d_{n-1} \times 2^{n-2} + \ldots + d_1 \times 2^0 = N_{10} \]
例えば，2進数の\(1001_2\)を10進数に変換する場合，以下のように計算する：
\[ 1001_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 9_{10} \]
\(d_n\)をn桁目の数字，\(R\)を底，\(N\)を10進数の数とすると，以下の式が成り立つ：
\[ N_{10} = d_n \times R^{n-1} + d_{n-1} \times R^{n-2} + \ldots + d_1 \times R^0 \]
また，以下のように書くこともできる：
\[ N_{10} = \sum_{i=1}^{n} d_i \times R^{i-1} \]
例えば，3進数の\(102_3\)を10進数に変換する場合，以下のように計算する：
\[ 102_3 = 1 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 11_{10} \]
また，16進数の\(\texttt{1A3F}_{16}\)を10進数に変換する場合，以下のように計算する：
\[ \texttt{1A3F}_{16} = 1 \times 16^3 + 10 \times 16^2 + 3 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 6719_{10} \]
これは，16進数のAが10に相当し，Fが15に相当するからである．
45.4 2進法，8進法，16進法
2進法，8進法，16進法は，全て2の累乗を底とする記数法であるため，変換は簡単に行える．
| 2進数 | 16進数 |
|---|---|
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
2進数の4桁ごとに16進数の1桁に対応する．例えば，2進数の\(1010110_2\)は，4桁ごとに区切ると\(0101\ 0110\)となり，これを16進数に変換すると\(56_{16}\)となる．
16進数を2進数に変換する場合は，各16進数の桁を4桁の2進数に変換すればよい．例えば，16進数の\(\texttt{1A3F}_{16}\)は，以下のように変換される：
\[ \texttt{1A3F}_{16} = 0001\ 1010\ 0011\ 1111_2 \]
8進法も同様に，3桁の2進数に対応する．
| 2進数 | 8進数 |
|---|---|
| 000 | 0 |
| 001 | 1 |
| 010 | 2 |
| 011 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
2進数の3桁ごとに8進数の1桁に対応する．例えば，
\[ 1010110_2 = 001\ 010\ 110_2 = 126_8 \]
45.5 10進数から他の記数法への変換
10進数から他の記数法への変換は，下記の手順で行うことができる：
- 与えられた値を底で割り，商と余りを求める．
- 商が0になるまで繰り返す．
- 商が0になったら，余りを逆順に並べる．
このようなある問題を解決する手順をアルゴリズムと呼ぶ．
このアルゴリズムは，特定の条件（商が0になるまで）を満たすまで繰り返し処理を行う．これは，反復構造（iterative structure）と呼ばれる．
アルゴリズムは，コンピューターサイエンスや経営工学の分野では中心的な概念でる．大学4年間，経営システム工学科では，さまざまな問題解決のためのアルゴリズムが学ばれる．
例えば，10進数の\(113_{10}\)を2進数に変換する場合，以下のように計算する：
\[ 113 \div 2 = 56 \quad R_1 = 1 \\ 56 \div 2 = 28 \quad R_2 = 0 \\ 28 \div 2 = 14 \quad R_3 = 0 \\ 14 \div 2 = 7 \quad R_4 = 0 \\ 7 \div 2 = 3 \quad R_5 = 1 \\ 3 \div 2 = 1 \quad R_6 = 1 \\ 1 \div 2 = 0 \quad R_7 = 1 \]
余りを逆順に並べると，\(1110001_2\)となる．
検算として，\(1110001_2\)を10進数に戻すと：
\[ 1110001_2 = 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^0 = 113_{10} \]
もう一つの例として，10進数の\(268_{10}\)を16進数に変換する場合，以下のように計算する：
\[ 268 \div 16 = 16 \quad R_1 = 12 \\ 16 \div 16 = 1 \quad R_2 = 0 \\ 1 \div 16 = 0 \quad R_3 = 1 \]
余りを逆順に並べると，\(\texttt{10C}_{16}\)となる．
45.6 ビットとバイト
情報量の最小単位はビット（bit）である．bitはbinary digit（2進数の桁）を略したもので，2進法の1桁分の情報を表す．バイト（byte）は，通常は8 bitで構成される．
例えば，\(\texttt{0101 0010}_{2}\)の情報量は8 bitであり，1 byteに相当する．
1 bitは0または1のいずれかの値をとる．そのため，1 bitは2種類の物事を表現できる．例えば，電源のオン/オフ，陽性/陰性，真/偽などである．
ビット数が増えると，表現できる種類も増える．2 bitでは，00，01，10，11の4種類を表現できる．8 bitは256種類（\(2^8\)）を表現できる．
| 1 Bit | 2 Bit | 3 Bit |
|---|---|---|
| 0 | 00 | 000 |
| 1 | 01 | 001 |
| 10 | 010 | |
| 11 | 011 | |
| 100 | ||
| 101 | ||
| 110 | ||
| 111 |
一般に，\(n\) bitは\(2^n\)種類の情報を表現できる．
45.7 ビットパターン
このように，より複雑な情報を表現するために，複数のビットを並べるものはビット列（bit string）と呼ばれる．
コンピューターが扱うデータは，一般的に8, 16, 32, 64ビットなど，2の累乗のビット数で構成される．特定のビット数を持つデータは，ビットパターン（bit pattern）と呼ばれる．ビットパターンは，数値，文字，画像，音声など，様々なデータを表現するために使用される．
ビットパターンを2進数で表現すると非常に長くなる場合があるため，16進数を使用することも多い．1 byteは16進数では2桁で表現できる．例えば，8 bitのビットパターン\(10101100_2\)は，16進数では\(\texttt{AC}_{16}\)と表現される．
Macアドレスは，ネットワーク機器を識別するための一意のアドレスであり，通常は48ビット（6バイト）で表現される．16進数で表記されることが多く，例えば\(\texttt{00:1A:2B:3C:4D:5E}\)のように表現される．
Windowsでは，コマンドプロンプトでipconfig /allを実行すると，ネットワークアダプターのMACアドレスを確認できる．
45.8 練習問題
情報量の最小単位は_である．一般に，\(n\) bitは_の種類を表現できる．また，8 bitは1 ____に相当する．
45.9 まとめ
| 日本語 | 英語 |
|---|---|
| 10進数 | decimal number |
| 2進数 | binary number |
| 8進数 | octal number |
| 16進数 | hexadecimal number |
| 位取り記数法 | positional notation |
45.10 練習問題
- google classroom
練習 45.1 10進数の1~10を3進数で書いてみよう．
解答 45.1.
- \(1_{10} = 1_3\)
- \(2_{10} = 2_3\)
- \(3_{10} = 10_3\)
- \(4_{10} = 11_3\)
- \(5_{10} = 12_3\)
- \(6_{10} = 20_3\)
- \(7_{10} = 21_3\)
- \(8_{10} = 22_3\)
- \(9_{10} = 100_3\)
- \(10_{10} = 101_3\)
練習 45.2 次の数を10進数に変換せよ．
- \(1101_2\)
- \(73_8\)
- \(\texttt{CAFE}_{16}\)
解答 45.2.
- \(1101_2 = 13_{10}\)
- \(73_8 = 59_{10}\)
- \(\texttt{CAFE}_{16} = 51966_{10}\)
練習 45.3 次の数を16進数と8進数に変換せよ． - \(11010110_2\) - \(101110011_2\) - \(1111000100101001_2\)
次の数を2進数に変換せよ． - \(\texttt{1A3F}_{16}\) - \(\texttt{7B2}_{16}\) - \(\texttt{35}_{8}\)
練習 45.4 次の10進数を2進数，8進数，16進数に変換せよ．
- \(45_{10}\)
- \(100_{10}\)
- \(255_{10}\)
解答 45.3.
- \(45_{10} = 101101_2 = 55_8 = \texttt{2D}_{16}\)
- \(100_{10} = 1100100_2 = 144_8 = \texttt{64}_{16}\)
- \(255_{10} = 11111111_2 = 377_8 = \texttt{FF}_{16}\)