47 ゲート

これまではコンピューターにおいて重要な記数法である2進数について学んだ。そして、0と1のビットを使って、数値や文字などのデータを表現する方法についても触れた。

ここでは、2進数の計算を行うための装置であるゲートについて学ぶ。

学習の目標は次の通りである：

真理値表，論理式、記号を使って基本的な論理ゲートを理解する
AND，OR，NOT，XOR，NAND，NORゲートの動作を理解する

47.1 ブール演算

ビットは一般的に0または1と表現されるが，FalseまたはTrueという真理値としての表現もよく使われる．

このような真理値（0と1）を扱うための数学的な体系をブール代数（Boolean algebra）と呼ぶ．ブール代数は，イギリスの数学者ジョージ・ブール（George Boole）によって考案された．ブール演算は，AND，OR，NOT，XORなどの論理演算子を使って真偽値を操作する．

47.2 ゲート

コンピューターでは，ゲート（gate，論理ゲート，logic gate）と呼ばれる装置を使ってブール演算を実行する．ゲートは，一つまたは複数の入力信号を受け取り，それらの信号を処理して出力信号を生成する．

ここでは，以下の基本的な論理ゲートを紹介する．

OR
AND
NOT
XOR
NAND
NOR

これらのゲートをの紹介には，論理式，真理値表，記号を使う．

論理式（Boolean expressions）は，数学記号を使って，数式で真理値の演算を表現する．
真理値表（truth table）は，ゲートのすべての入力組み合わせに対して，出力の真理値を示す表である．
記号（MIL symbols）は，論理ゲートを図で表現するための記号である．CircuitVerseという論理回路のシミュレータを使って、ゲートの動作を視覚的に確認することもできる。

47.2.1 ORゲート

\(A\) と \(B\) を真理値とするとき，\(A\) と \(B\) の論理和（logical disjunction）は，\(A \lor B\) と書く．

\(A\) と \(B\) の少なくとも一方が\(1\)のとき，\(A \lor B = 1\) となる．

論理和の真理値表は以下の通りである．

\(A\)	\(B\)	\(A \lor B\)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

論理和の演算を行うORゲートは次の記号で表現される．

47.2.2 ANDゲート

\(A\) と \(B\) を真理値とするとき，\(A\) と \(B\) の論理積（logical conjunction）は，\(A \land B\) と書く．

\(A\) と \(B\) の両方が\(1\)のとき，\(A \land B = 1\) となる．

論理積の真理値表は以下の通りである．

\(A\)	\(B\)	\(A \land B\)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

論理積の演算を行うANDゲートは次の記号で表現される．

47.2.3 NOTゲート

\(A\) を真理値とするとき，\(A\) の否定（logical negation）は，\(\lnot A\) と書く．

\(A\)が\(1\)のとき，\(\lnot A = 0\)となり，\(A\)が\(0\)のとき，\(\lnot A = 1\)となる．

否定の真理値表は以下の通りである．

\(A\)	\(\lnot p\)
0	1
1	0

否定の演算を行うNOTゲートは次の記号で表現される．

47.2.4 XORゲート

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき，\(A\)と\(B\)の排他的論理和（exclusive or）は，\(A \oplus B\)と書く．

\(A\)と\(B\)のうち一方だけが\(1\)のとき，\(A \oplus B = 1\)となる．

排他的論理和の真理値表は以下の通りである．

A	B	A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

排他的論理和の演算を行うXORゲートは次の記号で表現される．

47.2.5 NANDゲート

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき、\(A\)と\(B\)の否定論理積は、\(A \uparrow B\)と書書く。NANDはNot ANDの略で、ANDゲートの出力を否定したものである。

\[ A \uparrow B = \lnot (A \land B) \]

否定論理積の真理値表は以下の通りである。

\(A\)	\(B\)	\(A \uparrow B\)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

否定論理積の演算を行うNANDゲートは次の記号で表現される。

47.2.6 NORゲート

\(A\)と\(B\)を真理値とするとき、\(A\)と\(B\)の否定論理和は、\(A \downarrow B\)と書く。NORはNot ORの略で、ORゲートの出力を否定したものである。

\[ A \downarrow B = \lnot (A \lor B) \]

否定論理和の真理値表は以下の通りである。

\(A\)	\(B\)	\(A \downarrow B\)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

否定論理和の演算を行うNORゲートは次の記号で表現される。

47.3 まとめ

ANDゲートは、両方の入力が1のときに出力が1になる。
ORゲートは、少なくとも一方の入力が1のときに出力が1になる。
NOTゲートは、入力が1のときに出力が0になり、入力が0のときに出力が1になる。
XORゲートは、入力のうち一方だけが1のときに出力が1になる。
NANDゲートは、ANDゲートの出力を否定したもので、両方の入力が1のときに出力が0になる。
NORゲートは、ORゲートの出力を否定したもので、両方の入力が0のときに出力が1になる。

ゲート	記号
AND	\(A \land B\)
OR	\(A \lor B\)
NOT	\(\lnot A\)
XOR	\(A \oplus B\)
NAND	\(A \uparrow B\)
NOR	\(A \downarrow B\)

47.4 プログラミング言語での論理演算

C言語では、真理値は整数型で表現され、0は偽（False）、1は真（True）として扱われる。

以下のC言語のコードは，2 > 1が真であり、1を出力する．2 < 1が偽であり、0を出力する．

#include <stdio.h>

int main() {  
  printf("%d\n", 2 > 1); // 1
  printf("%d\n", 2 < 1); // 0
  return 0;
}

Pythonでは，TrueとFalseを使って真理値を表現する．

以下のPythonのコードは、2 > 1が真であり、Trueを出力する．2 < 1が偽であり、Falseを出力する．

print(2 > 1)  # True
print(2 < 1)  # False

C言語では、論理和の演算は||演算子を使って表現される．例えば、A || Bは、\(A\)または\(B\)のいずれかが真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A OR B = %d\n", A || B); // 出力: 1
    return 0;
}

C言語では、論理積の演算は&&演算子を使って表現される．例えば、A && Bは、\(A\)と\(B\)の両方が真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A AND B = %d\n", A && B); // 出力: 0
    return 0;
}

C言語では、否定の演算は!演算子を使って表現される．例えば、!Aは、\(A\)が真である場合に偽を返し、\(A\)が偽である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    printf("NOT A = %d\n", !A); // 出力: 0
    return 0;
}

47.4.1 やってみよう

ユーザーから2つの真理値（0または1）を入力として受け取り、AND、OR、NOT、XORの演算結果を表示するC言語のプログラムを作成してみよう。

作成したプログラムを実行すると、次のような出力が得られる。Enter AとEnter Bの後に、0または1を入力することができる。

Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.
Enter A: __1__
Enter B: __0__
A = 1, B = 0

*** Logical Operations ***
A AND B = 0
A OR B = 1
NOT A = 0
A XOR B = 1

47.4.1.1 解答例

#include <stdio.h>

int main() {
    int A, B;
    printf("Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.\n");
    printf("Enter A: ");
    scanf("%d", &A);
    printf("Enter B: ");
    scanf("%d", &B);
    printf("A = %d, B = %d\n", A, B);

    printf("*** Logical Operations ***\n");
    printf("A AND B = %d\n", A && B);
    printf("A OR B = %d\n", A || B);
    printf("NOT A = %d\n", !A);
    printf("A XOR B = %d\n", A ^ B);
    return 0;
}