49 ゲート

これまではコンピューターにおいて重要な記数法である2進数について学んだ．そして，0と1のビットを使って，数値や文字などのデータを表現する方法についても触れた．

ここでは，2進数の計算を行うための装置であるゲートについて学ぶ．

学習の目標は次の通りである：

真理値表，論理式，記号を使って基本的な論理ゲートを理解する
AND，OR，NOT，XOR，NAND，NORゲートの動作を理解する

49.1 ブール演算

ビットは一般的に0または1と表現されるが，FalseまたはTrueという真理値としての表現もよく使われる．

このような真理値（0と1）を扱うための数学的な体系をブール代数（Boolean algebra）と呼ぶ．ブール代数は，イギリスの数学者ジョージ・ブール（George Boole）によって考案された．ブール演算は，AND，OR，NOT，XORなどの論理演算子を使って真偽値を操作する．

49.2 ゲート

コンピューターでは，ゲート（gate，論理ゲート，logic gate）と呼ばれる装置を使ってブール演算を実行する．ゲートは，1つまたは複数の入力信号を受け取り，それらの信号を処理して出力信号を生成する．

ここでは，以下の基本的な論理ゲートを紹介する．

OR
AND
NOT
XOR
NAND
NOR

これらのゲートの紹介には，論理式，真理値表，記号を使う．

論理式（Boolean expressions）は，数学記号を使って，数式で真理値の演算を表現する．
真理値表（truth table）は，ゲートのすべての入力組み合わせに対して，出力の真理値を示す表である．
記号（MIL symbols）は，論理ゲートを図で表現するための記号である．CircuitVerseという論理回路のシミュレータを使って，ゲートの動作を視覚的に確認することもできる．

49.2.1 ORゲート

A と B を真理値とするとき，A と B の論理和（logical disjunction）は，A \lor B と書く．

A と B の少なくとも一方が1のとき，A \lor B = 1 となる．

論理和の真理値表は以下の通りである．

A	B	A \lor B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

論理和の演算を行うORゲートは次の記号で表現される．

49.2.2 ANDゲート

A と B を真理値とするとき，A と B の論理積（logical conjunction）は，A \land B と書く．

A と B の両方が1のとき，A \land B = 1 となる．

論理積の真理値表は以下の通りである．

A	B	A \land B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

論理積の演算を行うANDゲートは次の記号で表現される．

49.2.3 NOTゲート

A を真理値とするとき，A の否定（logical negation）は，\lnot A と書く．

Aが1のとき，\lnot A = 0となり，Aが0のとき，\lnot A = 1となる．

否定の真理値表は以下の通りである．

A	\lnot A
0	1
1	0

否定の演算を行うNOTゲートは次の記号で表現される．

49.2.4 XORゲート

AとBを真理値とするとき，AとBの排他的論理和（exclusive or）は，A \oplus Bと書く．

AとBのうち一方だけが1のとき，A \oplus B = 1となる．

排他的論理和の真理値表は以下の通りである．

A	B	A \oplus B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

排他的論理和の演算を行うXORゲートは次の記号で表現される．

49.2.5 NANDゲート

AとBを真理値とするとき，AとBの否定論理積は，A \uparrow Bと書く．NANDはNot ANDの略で，ANDゲートの出力を否定したものである．

A \uparrow B = \lnot (A \land B)

否定論理積の真理値表は以下の通りである．

A	B	A \uparrow B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

否定論理積の演算を行うNANDゲートは次の記号で表現される．

49.2.6 NORゲート

AとBを真理値とするとき，AとBの否定論理和は，A \downarrow Bと書く．NORはNot ORの略で，ORゲートの出力を否定したものである．

A \downarrow B = \lnot (A \lor B)

否定論理和の真理値表は以下の通りである．

A	B	A \downarrow B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

否定論理和の演算を行うNORゲートは次の記号で表現される．

49.3 まとめ

ANDゲートは，両方の入力が1のときに出力が1になる．
ORゲートは，少なくとも一方の入力が1のときに出力が1になる．
NOTゲートは，入力が1のときに出力が0になり，入力が0のときに出力が1になる．
XORゲートは，入力のうち一方だけが1のときに出力が1になる．
NANDゲートは，ANDゲートの出力を否定したもので，両方の入力が1のときに出力が0になる．
NORゲートは，ORゲートの出力を否定したもので，両方の入力が0のときに出力が1になる．

ゲート	論理式
AND	A \land B
OR	A \lor B
NOT	\lnot A
XOR	A \oplus B
NAND	A \uparrow B
NOR	A \downarrow B

49.4 プログラミング言語での論理演算

C言語では，真理値は整数型で表現され，0は偽（False），1は真（True）として扱われる．

以下のC言語のコードは，2 > 1が真であり，1を出力する．2 < 1が偽であり，0を出力する．

#include <stdio.h>

int main() {
  printf("%d\n", 2 > 1); // 1
  printf("%d\n", 2 < 1); // 0
  return 0;
}

Pythonでは，TrueとFalseを使って真理値を表現する．

以下のPythonのコードは，2 > 1が真であり，Trueを出力する．2 < 1が偽であり，Falseを出力する．

print(2 > 1)  # True
print(2 < 1)  # False

C言語では，論理和の演算は||演算子を使って表現される．例えば，A || Bは，AまたはBのいずれかが真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A OR B = %d\n", A || B); // 出力: 1
    return 0;
}

C言語では，論理積の演算は&&演算子を使って表現される．例えば，A && Bは，AとBの両方が真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A AND B = %d\n", A && B); // 出力: 0
    return 0;
}

C言語では，否定の演算は!演算子を使って表現される．例えば，!Aは，Aが真である場合に偽を返し，Aが偽である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    printf("NOT A = %d\n", !A); // 出力: 0
    return 0;
}

49.4.1 練習問題

ユーザーから2つの真理値（0または1）を入力として受け取り，AND，OR，NOT，XORの演算結果を表示するC言語のプログラムを作成せよ．

作成したプログラムを実行すると，次のような出力が得られる．Enter AとEnter Bの後に，0または1を入力することができる．

Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.
Enter A: __1__
Enter B: __0__
A = 1, B = 0

*** Logical Operations ***
A AND B = 0
A OR B = 1
NOT A = 0
A XOR B = 1

49.4.1.1 解答例

#include <stdio.h>

int main() {
    int A, B;
    printf("Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.\n");
    printf("Enter A: ");
    scanf("%d", &A);
    printf("Enter B: ");
    scanf("%d", &B);
    printf("A = %d, B = %d\n", A, B);

    printf("*** Logical Operations ***\n");
    printf("A AND B = %d\n", A && B);
    printf("A OR B = %d\n", A || B);
    printf("NOT A = %d\n", !A);
    printf("A XOR B = %d\n", A ^ B);
    return 0;
}