商店・工場・倉庫などで，原材料・部品・製品といった品目を適切に管理することを在庫管理（Inventory Management）という．一般的に，在庫管理の目的は，顧客の需要を満たしつつ，在庫に関わる費用を最小化することである．
在庫量が多すぎると，保管費用がかかる．逆に，在庫量が少なすぎると，欠品が発生し，顧客の需要を満たせなくなる．在庫管理では，次の2つを決定する．
科学的在庫管理（Scientific Inventory Management）では，これら2つの問題に答えるために，次の手順をとる．
練習 13.1 (思考実験) あなたは牛乳を毎日1本消費し，なくなる前に買い足しているとする．次の各状況で，1回に買う量と，買いに行くタイミングがどう変わるか，理由とともに答えよ．
在庫の状況は「いま何個あるか」だけでは言い表せない． 手元にある量と，満たせずに残っている量を分けて数える必要がある．前者は保管費用に， 後者は欠品費用に効くためである．ここでは，そのための概念と記号を導入する．
在庫量 I は正にも負にもなりうるのに対し，OH と BO は負にならない．一般に，OH と BO は在庫量 I を用いて次のように表される．
OH = I^+ = \max(0, I)
BO = I^- = \max(0, -I)
以降，x^+ = \max(0, x)，x^- = \max(0, -x) という記法を用いる．
在庫量は時間とともに変化する．需要が発生する前後を区別する必要があるときは，I を需要が発生する前の在庫量とし，需要 d を満たした後の在庫量を I - d と書く．このとき，需要を満たした後の手持ち在庫とバックオーダーは，それぞれ
OH = (I - d)^+, \quad BO = (I - d)^- = (d - I)^+
である．
例 13.1 需要が発生する前の在庫量を I = 50 とする． 需要が d = 30 のとき，需要を満たした後の在庫量は
I - d = 50 - 30 = 20
となる．在庫量が正であるため，手持ち在庫は OH = 20，バックオーダーは BO = 0 である．
例 13.2 需要が発生する前の在庫量を I = 50 とする． 需要が d = 70 のとき，需要を満たした後の在庫量は
I - d = 50 - 70 = -20
となる．このとき，手持ち在庫は
OH = (I - d)^+ = 0
となる．バックオーダーは
BO = (I - d)^- = 20
となる．すなわち，50単位を出荷し，残る20単位が後日の出荷を待つバックオーダーとなる．
ここでは，在庫に関わる費用を紹介する．
例 13.3 (発注費用と購入費用) 毎回の発注量を Q，発注費用を K，単位あたりの購入費用を c とする．発注費用 K は発注量によらず1回の発注ごとに，購入費用 cQ は発注量に比例してかかるため，発注1回あたりの費用の合計は
K + cQ
となる．
例 13.4 (欠品費用) 需要が発生する前の在庫量を I，需要を d，単位あたりの欠品費用を p とする．満たせない需要は (d - I)^+ であるため，欠品費用は次のように計算される．
p (d - I)^+
p = 10，I = 50，d = 70 のとき，欠品費用は次のように計算される．
p (d - I)^+ = 10 (70 - 50)^+ = 200
p = 10，I = 50，d = 20 のとき，欠品費用は次のように計算される．
p (d - I)^+ = 10 (20 - 50)^+ = 0
保管費用は，保管する量と保管する時間の両方に比例する．在庫量の時間変化を描いた図では，この積は在庫量を表す折れ線と時間軸が囲む面積にあたる．一般的に，保管費用は次の式で計算される．
\text{保管費用} = \text{面積} \times h
在庫量が一定の場合を 例 13.5 で，時間とともに変化する場合を 例 13.6 で確認する．
例 13.5 (在庫量が一定の保管費用) 1日あたり1単位の在庫を保管するために，h の費用がかかるとする．30日間，50単位の在庫を保管するための総保管費用を求める．
保管費用は次のように計算される． 30 \times 50 \times h = 1500h
図 13.1 では，横軸が時間，縦軸が在庫量を表す．上で求めた 1500h は，網掛けした長方形の面積 30 \times 50 に h を掛けたものである．
import matplotlib.pyplot as plt
t = [0, 30]
inventory = [50, 50]
# Plotting the inventory level
plt.fill_between(t, inventory, color="#16212d", alpha=0.12) # brand: ink
plt.plot(t, inventory, color="#16212d", linewidth=2) # brand: ink
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Inventory Level")
plt.xlim(0, 30)
plt.ylim(0, 60)
plt.tight_layout()
plt.show()
例 13.6 (在庫が時間とともに変化する保管費用) 通常，在庫量は一定ではなく，時間とともに変化する．ここでは，在庫量が時間とともに線形に減少し，0になると在庫が補充される場合を考える．毎回の発注量を Q = 500，1日あたりの需要量を d = 250 とする．
このとき，1回の発注で Q / d = 2 日分の需要をまかなえるため，在庫量は 図 13.2 のように2日ごとに同じ形を繰り返す．6日間の保管費用を求める．
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameters
d = 250 # Demand rate (units per day)
Q = 500 # Order quantity
T = Q / d # Cycle length
n_cycles = 3
# Inventory level over time: each cycle falls from Q to 0 at rate d,
# then the next order arrives instantaneously.
t = [0.0]
inventory = [Q]
for i in range(n_cycles):
t += [(i + 1) * T, (i + 1) * T]
inventory += [0, Q]
t, inventory = t[:-1], inventory[:-1] # drop the trailing jump back to Q
# Plotting the inventory level
plt.fill_between(t, inventory, color="#16212d", alpha=0.12) # brand: ink
plt.plot(t, inventory, color="#16212d", linewidth=2) # brand: ink
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Inventory Level")
plt.xlim(0, n_cycles * T)
plt.ylim(0, Q * 1.15)
plt.tight_layout()
plt.show()
保管費用は \text{面積} \times h で計算される．6日間はこの繰り返し3回分にあたり，1回分の三角形の面積は \frac{1}{2} \times 2 \times 500 = 500 であるため，6日間の保管費用は次のように計算される．
\frac{2 \times 500}{2} \times 3 \times h = 1500h
この面積を6日で割ると，1日あたりの平均在庫量が \frac{1500}{6} = 250 = \frac{Q}{2} であることがわかる．在庫量が Q から0まで直線的に減少するとき，平均在庫量は \frac{Q}{2} になる．この関係は チャプター 14 で用いる．
在庫管理では，これら4つの費用を個別に最小化するのではなく，その合計を最小化する．ある期間について，期首（需要が発生する前）の在庫量を I，発注量を Q，需要を d とすると，その期間の総費用は次のように書ける．
K + cQ + h (I - d)^+ + p (d - I)^+
第1項と第2項が発注費用と購入費用，第3項が保管費用，第4項が欠品費用である．発注しない期間では K + cQ を0とする．また，ここでは保管費用が期末の在庫量 (I - d)^+ にかかるものとした．
例 13.7 (1日の総費用) ある日，A社が100単位の商品を1単位あたり c 円で発注したとする．1回の発注にかかる費用は K 円，1日あたり1単位の保管費用は h 円，1単位あたりの欠品費用は p 円である．その日の期首の在庫量は50単位であり，発注した100単位は翌日に届くため，その日の在庫には含まれない．
その日の需要が40単位であった場合，在庫は十分であり，欠品は発生しない．このとき，A社の1日の総費用は次のように計算される．
\begin{align*} & K + 100c + (50 - 40)h + 0 \cdot p \\ = & K + 100c + 10h \end{align*}
需要が70単位であった場合，在庫が不足し，(70 - 50) 単位の欠品が発生し，期末の在庫量は0になる．このとき，A社の1日の総費用は次のように計算される．
\begin{align*} & K + 100c + 0 \cdot h + (70 - 50)p \\ = & K + 100c + 20p \end{align*}
以降の章では，この総費用（需要が確率的な場合はその期待値）を最小化する発注量と発注時期を求める．
在庫モデルは，次のような要素で分類される．
観測と需要の組み合わせで，本書が扱う古典的な在庫モデルを整理すると 表 13.1 のようになる．表の並びは，本書で扱う順序に対応する．
確率的在庫モデルにおいて重要な概念の一つが，在庫方策（inventory policy）である．在庫方策は，在庫の状況に応じて，在庫管理のルールを定めるものである．代表的な在庫方策を以下に示す．
確率的在庫モデルによっては，これらの在庫方策が最適であることが知られている．その場合，在庫方策が持つパラメータを最適化することで，在庫の期待コストを最小化することができる．