商店・工場・倉庫などで，原材料・部品・製品などを適切に管理することを在庫管理（Inventory Management）という．一般的に，在庫管理の目的は，顧客の需要を満たしつつ，在庫に関わる費用を最小化することである．
豊田自動車が提唱したジャストインタイム（Just In Time, JIT）は，生産方式としてよく知られている．
JIT とは必要なものを，必要な時に，必要な量だけ生産することである．JIT の目的は，在庫を最小限に抑え，効率的な生産を実現することである．
アメリカの研究者らは，その生産方式を体系化し，リーン生産方式（Lean Manufacturing）という概念を提唱した．
在庫量が多すぎると，保管費用がかかる．逆に，在庫量が少なすぎると，欠品が発生し，顧客の需要を満たせなくなる．在庫管理は次の二つの問題を決定する．
科学的在庫管理（Scientific Inventory Management）では，これらの問題に答えるために，次の手順で在庫管理を行う．
練習 12.1 前回スーパーに行ったときに買った商品（例えば，牛乳，卵など）について考える．需要と在庫の観点から，次の質問に答えよ．
一般，\(BO\) と \(OH\) は次のように表される．
\[ OH = I^+ = \max(0, I) \]
\[ BO = I^- = \max(0, -I) \]
例 12.1 手持ち在庫が \(OH = 50\)，需要が \(d = 30\) のとき，在庫量は次のように計算される．
\[ I = 50 - 30 = 20 \]
手持ち在庫が \(OH = 50\)，需要が \(d = 70\) のとき，在庫量は次のように計算される．
\[ I = 50 - 70 = -20 \]
このとき，手持ち在庫は
\[ OH = I^+ = \max(0, I) = 0 \]
となる．バックオーダーは
\[ BO = I^- = \max(0, -I) = 20 \]
となる．
在庫モデルは，次のような要素で分類される．
以下の表に，需要と観測に基づく，古典的な在庫モデルを示す．
| 在庫モデル | 需要 | 観測 |
|---|---|---|
| EOQモデル | 決定論的 | 連続観測 |
| Wagner-Whitin | 決定論的 | 周期観測 |
| 安全在庫 | 確率的 | 連続観測 |
| 新聞売り子問題 | 確率的 | 周期観測 |
ここでは，在庫に関わる費用を紹介する．
例 12.2 (発注費用と購入費用) 毎回の発注量を \(Q\)，1回の発注にかかる費用を \(K\)，単位あたりの購入費用を \(c\) とする．1回の発注にかかる総費用は，次のように計算される．
\[ K + cQ \]
となる．
例 12.3 (欠品費用) 在庫量を \(I\)，需要を \(d\)，単位あたりの欠品費用を \(p\) とする．欠品費用は次のように計算される．
\[ p (d - I)^+ \]
\(p = 10\)，\(I = 50\)，\(d = 70\) のとき，欠品費用は次のように計算される．
\[ p (d - I)^+ = 10 (70 - 50)^+ = 200 \]
\(p = 10\)，\(I = 50\)，\(d = 20\) のとき，欠品費用は次のように計算される．
\[ p (d - I)^+ = 10 (20 - 50)^+ = 0 \]
例 12.4 (在庫量が一定の保管費用) 1日あたり1単位の在庫を保管するために，\(h\) の費用がかかるとする．30日間，50単位の在庫を保管するための総保管費用を計算せよ．
保管費用は次のように計算される． \[ 30 \times 50 \times h = 1500h \]
下の図では，横軸が時間，縦軸が在庫量を表す．
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
t = np.linspace(0, 30, 1000)
inventory = np.full_like(t, 50)
# Plotting the inventory level
plt.fill_between(t, inventory, color="lightgray", alpha=0.5, label="Inventory Level")
plt.plot(t, inventory, label="Inventory Level", color="black", linewidth=2)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Inventory Level")
plt.axhline(0, color="gray", linewidth=1)
plt.tight_layout()
plt.show()
一般的に，保管費用は次の式で計算される．
\[ \text{保管費用} = \text{面積} \times h \]
例 12.5 (在庫が時間とともに変化する保管費用) 通常，在庫量が定数ではなく，時間とともに変化する．ここでは，在庫量が時間とともに線形に減少し，0になると在庫が補充される場合を考える．毎回の発注量を \(500\) とする．
下の図に示すように在庫量が時間とともに変化するとする．6 日間の保管費用を計算せよ．
# Parameters
d = 250 # Demand rate
Q = 500 # Order quantity
T = Q / d # Cycle length
t = np.linspace(0, 2.999 * T, 1000)
# Inventory level over time
inventory = np.maximum(0, Q - (d * t) % Q)
# Plotting the inventory level
plt.fill_between(t, inventory, color="lightgray", alpha=0.5, label="Inventory Level")
plt.plot(t, inventory, label="Inventory Level", color="black", linewidth=2)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Inventory Level")
plt.axhline(0, color="gray", linewidth=1)
plt.ylim(bottom=0, top=Q + 200)
plt.tight_layout()
plt.show()
保管費用は \(\text{面積} \times h\) で計算される．それぞれの三角形の面積は \(\frac{1}{2} \times 500 \times 2\) であるため，6 日間の保管費用は次のように計算される．
\[ \frac{2 \times 500}{2} \times 3 \times h \]
確率的在庫モデルにおいて，一つ重要な概念は在庫方策（inventory policy）である．在庫方策は，在庫の状況に応じて，在庫管理のルールを定めるものである．代表的な在庫方策を以下に示す．
一部の確率的在庫モデルにに対し，これらの在庫方策は最適であることが知られている．その場合，在庫方策が持つパラメータを最適化することで，在庫の期待コストを最小化することができる．