データ包絡分析（DEA: Data Envelopment Analysis）は，分析対象の効率性を評価するための手法である．DEAでは，分析対象のことをDMU（Decision Making Unit）と呼ばれ，複数の入力（input）から複数の出力（output）への変換を行うものである．
下の表は，いくつかのDMUの例を示している．
| DMU | 入力 | 出力 |
|---|---|---|
| 店舗 | 店員数，面積 | 売上高，顧客数 |
| 大学 | 教員数，研究費 | 卒業生数，論文数，特許数 |
| 病院 | 医師数，看護師数，ベッド数 | 患者数，手術件数，治癒率 |
\(n\) 個のDMUがあり，\(\text{DMU}_j\) (\(j=1,2,\ldots,n\)) は1つの入力 \(x_j\) と1つの出力 \(y_j\) を持つとする．そのとき，\(\text{DMU}_j\) の効率性は
\[ \frac{y_j}{x_j} \]
で評価できる．単位入力あたりの出力を表している．この値が大きいほど，効率的であると評価できる．
例 2.1 (1入力1出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．
| 店舗 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 店員数（\(x\)） | 2 | 3 | 3 | 4 | 2 | 5 |
| 売上高（\(y\)） | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
\(\text{DMU}_j\) の店員数を \(x_j\)，売上高を \(y_j\) とすると，店舗 \(j\) の効率性は \(y_j/x_j\) で計算できる．結果から，\(B, E\) が最も効率的であることがわかる．
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
data = {
"store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
"employee": [2, 3, 3, 4, 2, 5],
"sale": [1, 3, 2, 3, 2, 2],
}
df = pd.DataFrame(data)
df["theta"] = df["sale"] / df["employee"]
print(df) store employee sale theta
0 A 2 1 0.500000
1 B 3 3 1.000000
2 C 3 2 0.666667
3 D 4 3 0.750000
4 E 2 2 1.000000
5 F 5 2 0.400000横軸に店員数，縦軸に売上高をとって，点 \((x_j, y_j)\) をプロットした散布図を下の図に示す．原点から点 \((x_j, y_j)\) を結ぶ直線の傾きは，\(y_j/x_j\) に等しい．
plt.scatter(df["employee"], df["sale"])
for i in range(len(df)):
plt.text(df["employee"][i] + 0.1, df["sale"][i], df["store"][i])
plt.plot([0, 4], [0, 4], color="red", linestyle="--", label="efficient frontier")
plt.xlabel("Employee")
plt.ylabel("Sale")
plt.xlim(0, 6)
plt.ylim(0, 4)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
店舗BとEは，効率的（efficient）と言える．また，原点から店舗B（または店舗E）を結ぶ直線を効率的フロンティア（efficient frontier）と呼ぶ．
例 2.2 (2入力1出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．
| 店舗 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 店員数 | 4 | 7 | 8 | 4 | 2 | 5 |
| 面積 | 3 | 3 | 1 | 2 | 4 | 2 |
| 売上高 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
\(\text{DMU}_j\) の店員数を \(x_{j}\)，面積を \(y_{j}\)，売上高を \(z_{j}\) とする．それぞれの店舗に対して，次の2つの比率を計算する．
\[ \frac{x_{j}}{z_{j}},\quad \frac{y_{j}}{z_{j}} \]
これらの値が小さいほど，効率的であると評価できる．
\(x_{j}/z_{j}\) と \(y_{j}/z_{j}\) を横軸と縦軸にとった散布図を下の図に示す．
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
data = {
"store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
"employee": [4, 7, 8, 4, 2, 5],
"area": [3, 3, 1, 2, 4, 2],
"sale": [1, 1, 1, 1, 1, 1],
}
df = pd.DataFrame(data)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(df["employee"], df["area"])
for i in range(len(df)):
plt.text(df["employee"][i] + 0.1, df["area"][i], df["store"][i])
plt.plot(
[2, 2, 4, 8, 11],
[5, 4, 2, 1, 1],
color="red",
linestyle="--",
label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("Employee/Sale")
plt.ylabel("Area/Sale")
plt.xlim(0, 11)
plt.ylim(0, 5)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
DEAでは，任意の両点の線分上の点が実現可能であると仮定する．例えば，点 \(D\) と点 \(E\) を用いて，\((wx_D + (1-w)x_E, wy_D + (1-w)y_E)\) で表される点は，実現可能であると仮定する．
\(C, D, E\) は効率的で，これらの点を結ぶ折れ線が効率的フロンティアとなる．
例 2.3 (1入力2出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．
| 店舗 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 店員数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 売上高 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 6 |
| 顧客数 | 5 | 7 | 4 | 3 | 6 | 2 |
\(\text{DMU}_j\) の店員数を \(x_{j}\)，売上高を \(y_{j}\)，顧客数を \(z_{j}\) とする．それぞれの店舗に対して，次の2つの比率を計算する．
\[ \frac{y_{j}}{x_{j}},\quad \frac{z_{j}}{x_{j}} \]
これらの値が大きいほど，効率的であると評価できる．
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
data = {
"store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
"employee": [1, 1, 1, 1, 1, 1],
"sale": [1, 2, 3, 4, 4, 6],
"customer": [5, 7, 4, 3, 6, 2],
}
df = pd.DataFrame(data)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(df["sale"], df["customer"])
for i in range(len(df)):
plt.text(df["sale"][i] + 0.1, df["customer"][i], df["store"][i])
plt.plot(
[0, 2, 4, 6, 6],
[7, 7, 6, 2, 0],
color="red",
linestyle="--",
label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("sale/employee")
plt.ylabel("customer/employee")
plt.xlim(0, 7)
plt.ylim(0, 8)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
店舗B，E，Fは効率的で，これらの点を結ぶ折れ線が効率的フロンティアとなる．
| English | Japanese |
|---|---|
| Data Envelopment Analysis (DEA) | データ包絡分析 |
| Decision Making Unit (DMU) | 意思決定主体；意思決定単位 |
| Reference Set | 参照集合 |
| Efficient | 効率的 |
| Efficient Frontier | 効率的フロンティア |
練習 2.1 (1入力1出力) 次の表のような入力と出力が与えられたとき，効率的なDMUを求めよ．効率性を \([0,1]\) の範囲で評価せよ．
| DMU | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 入力 | 4 | 7 | 8 | 5 | 6 |
| 出力 | 2 | 7 | 9 | 4 | 5 |
解答 2.1.
import pandas as pd
data = {
"DMU": ["A", "B", "C", "D", "E"],
"input": [4, 7, 8, 5, 6],
"output": [2, 7, 9, 4, 5],
}
df = pd.DataFrame(data)
df["efficiency"] = df["output"] / df["input"]
print(df) DMU input output efficiency
0 A 4 2 0.500000
1 B 7 7 1.000000
2 C 8 9 1.125000
3 D 5 4 0.800000
4 E 6 5 0.833333練習 2.2 (2入力1出力) 次の表のような入力と出力が与えられたとき，効率的なDMUを求めよ．
| DMU | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 入力1 | 6 | 6 | 12 | 4 | 15 |
| 入力2 | 4 | 12 | 9 | 8 | 5 |
| 出力 | 2 | 6 | 3 | 2 | 5 |
解答 2.2. 下の図より，DMU B，Dが効率的であることがわかる．
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
data = {
"DMU": ["A", "B", "C", "D", "E"],
"input1": [6, 6, 12, 4, 15],
"input2": [4, 12, 9, 8, 5],
"output": [2, 6, 3, 2, 5],
}
df = pd.DataFrame(data)
x = df["input1"] / df["output"]
y = df["input2"] / df["output"]
plt.scatter(x, y)
for i in range(len(df)):
plt.text(x[i] + 0.1, y[i], df["DMU"][i])
# 効率的フロンティアの描画 B-E
plt.plot(
[1, 1, 3, 6],
[6, 2, 1, 1],
color="red",
linestyle="--",
label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("input1/output")
plt.ylabel("input2/output")
plt.xlim(0, 6)
plt.ylim(0, 6)
plt.grid()
plt.show()