1  入力と出力

1.1 学習目標

• DEAとDMUの考え方を理解する．
• 1入力1出力の場合の効率性を計算できる．
• 2入力1出力，1入力2出力の場合に，効率的なDMUを図から判定できる．
• 効率的フロンティアの意味を理解する．

1.2 前提知識

• 数学：線形代数
• 線形計画法の基礎

1.3 データ包絡分析とは

データ包絡分析（DEA: Data Envelopment Analysis）は，分析対象の効率性を評価するための手法である(Charnes ほか 1978年)．DEAでは，分析対象をDMU（Decision Making Unit）と呼ぶ．DMUは，複数の入力（input）を複数の出力（output）に変換するものである．

下の表は，いくつかのDMUの例を示している．

DMU	入力	出力
店舗	店員数，面積	売上高，顧客数
大学	教員数，研究費	卒業生数，論文数，特許数
病院	医師数，看護師数，ベッド数	患者数，手術件数，治癒率

1.4 1入力1出力

n 個のDMUがあり，\text{DMU}_j (j=1,2,\ldots,n) は1つの入力 x_j と1つの出力 y_j を持つとする．そのとき，\text{DMU}_j の効率性は

\frac{y_j}{x_j}

で評価できる．これは，単位入力あたりの出力を表している．この値が大きいほど効率がよく，値が最大となるDMUを効率的（efficient）であるという．

横軸に入力，縦軸に出力をとって点 (x_j, y_j) をプロットすると，原点と点 (x_j, y_j) を結ぶ直線の傾きは y_j/x_j に等しい．したがって，効率的なDMUを通る直線の傾きが最も大きく，すべての点はこの直線上かその下側に位置する．この直線を効率的フロンティア（efficient frontier）と呼ぶ．

例 1.1 (1入力1出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．

店舗	A	B	C	D	E	F
店員数（x）	2	3	3	4	2	5
売上高（y）	1	3	2	3	2	2

店舗 j の店員数を x_j，売上高を y_j とすると，その効率性は y_j/x_j で計算できる．下の計算結果から，店舗BとEが最も効率的であることがわかる．

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

data = {
    "store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
    "employee": [2, 3, 3, 4, 2, 5],
    "sale": [1, 3, 2, 3, 2, 2],
}
df = pd.DataFrame(data)
df["theta"] = df["sale"] / df["employee"]
print(df)

  store  employee  sale     theta
0     A         2     1  0.500000
1     B         3     3  1.000000
2     C         3     2  0.666667
3     D         4     3  0.750000
4     E         2     2  1.000000
5     F         5     2  0.400000

横軸に店員数，縦軸に売上高をとって，点 (x_j, y_j) をプロットした散布図を下の図に示す．

plt.scatter(df["employee"], df["sale"], color="#144f78")
for i in range(len(df)):
    plt.text(df["employee"][i] + 0.1, df["sale"][i], df["store"][i])
plt.plot([0, 4], [0, 4], color="#b03535", linestyle="--", label="efficient frontier")
plt.xlabel("Employee")
plt.ylabel("Sale")
plt.xlim(0, 6)
plt.ylim(0, 4)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

破線が効率的フロンティアであり，効率的な店舗BとEはその上にある．

1.5 2入力1出力

次に，\text{DMU}_j が2つの入力 x_{1j}, x_{2j} と1つの出力 y_j を持つ場合を考える．入力が2つあるため，1入力1出力のように1つの比で効率性を表すことはできない．そこで，出力1単位あたりに必要な入力量

\frac{x_{1j}}{y_j},\quad \frac{x_{2j}}{y_j}

を考える．どちらも，値が小さいほど効率的である．

この2つの値を同時に最小にするDMUがあるとは限らないため，効率性を1つの数値で順位づけすることはできない．そこで，2つの値がどちらも \text{DMU}_j 以下で，少なくとも一方は \text{DMU}_j より小さいような他のDMUが存在しないとき，\text{DMU}_j は効率的であるとする．\text{DMU}_j を点 P_j = \left( x_{1j}/y_j,\ x_{2j}/y_j \right) として平面上にプロットすると，効率的なDMUは点の集まりの左下の境界に並び，これらを結んだ折れ線が効率的フロンティアとなる．

例 1.2 (2入力1出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．

店舗	A	B	C	D	E	F
店員数（x_1）	4	7	8	4	2	5
面積（x_2）	3	3	1	2	4	2
売上高（y）	1	1	1	1	1	1

店舗 j の店員数を x_{1j}，面積を x_{2j}，売上高を y_{j} とする．各店舗の点 P_j をプロットした散布図を下の図に示す．

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

data = {
    "store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
    "employee": [4, 7, 8, 4, 2, 5],
    "area": [3, 3, 1, 2, 4, 2],
    "sale": [1, 1, 1, 1, 1, 1],
}
df = pd.DataFrame(data)
plt.scatter(df["employee"], df["area"], color="#144f78")
for i in range(len(df)):
    plt.text(df["employee"][i] + 0.1, df["area"][i], df["store"][i])
plt.plot(
    [2, 2, 4, 8, 11],
    [5, 4, 2, 1, 1],
    color="#b03535",
    linestyle="--",
    label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("Employee/Sale")
plt.ylabel("Area/Sale")
plt.xlim(0, 11)
plt.ylim(0, 5)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

DEAでは，任意の2点を結ぶ線分上の点が実現可能であると仮定する．例えば，P_D と P_E に対して，0 \le w \le 1 を満たす w を用いて w P_D + (1-w) P_E と表される点は，すべて実現可能である．

C，D，Eは効率的で，これらの点を結ぶ折れ線が効率的フロンティアとなる．

1.6 1入力2出力

今度は，\text{DMU}_j が1つの入力 x_j と2つの出力 y_{1j}, y_{2j} を持つ場合を考える．2入力1出力と同様に，入力1単位あたりの出力

\frac{y_{1j}}{x_j},\quad \frac{y_{2j}}{x_j}

を考える．こちらは，値が大きいほど効率的である．2つの値がどちらも \text{DMU}_j 以上で，少なくとも一方は \text{DMU}_j より大きいような他のDMUが存在しないとき，\text{DMU}_j は効率的であるとする．この場合，効率的なDMUは点の集まりの右上の境界に並ぶ．

例 1.3 (1入力2出力の問題例) ある会社は，以下の6つの店舗を運営している．効率的である店舗はどれか．

店舗	A	B	C	D	E	F
店員数（x）	1	1	1	1	1	1
売上高（y_1）	1	2	3	4	4	6
顧客数（y_2）	5	7	4	3	6	2

店舗 j の店員数を x_{j}，売上高を y_{1j}，顧客数を y_{2j} とする．y_{1j}/x_{j} と y_{2j}/x_{j} を横軸と縦軸にとった散布図を下の図に示す．

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

data = {
    "store": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"],
    "employee": [1, 1, 1, 1, 1, 1],
    "sale": [1, 2, 3, 4, 4, 6],
    "customer": [5, 7, 4, 3, 6, 2],
}
df = pd.DataFrame(data)
plt.scatter(df["sale"], df["customer"], color="#144f78")
for i in range(len(df)):
    plt.text(df["sale"][i] + 0.1, df["customer"][i], df["store"][i])
plt.plot(
    [0, 2, 4, 6, 6],
    [7, 7, 6, 2, 0],
    color="#b03535",
    linestyle="--",
    label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("sale/employee")
plt.ylabel("customer/employee")
plt.xlim(0, 7)
plt.ylim(0, 8)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

店舗B，E，Fは効率的で，これらの点を結ぶ折れ線が効率的フロンティアとなる．

1.7 まとめ

• DEAは，複数の入力から複数の出力への変換を行うDMUの効率性を評価する手法である．
• 1入力1出力の場合，\text{DMU}_j の効率性は y_j/x_j で評価でき，この値が大きいほど効率的である．
• 2入力1出力の場合は入力を出力で割った比，1入力2出力の場合は出力を入力で割った比を軸にとると，散布図から効率的なDMUを判定できる．
• 入力または出力が複数ある場合，効率性を1つの数値で表すことはできない．どちらの指標でも劣らず，少なくとも一方では優れている他のDMUが存在しないとき，そのDMUを効率的とみなす．
• DEAでは，任意の2点を結ぶ線分上の点が実現可能であると仮定する．効率的なDMUを結ぶ折れ線を効率的フロンティアと呼ぶ．

1.8 用語集

English	Japanese
Data Envelopment Analysis (DEA)	データ包絡分析
Decision Making Unit (DMU)	意思決定主体；意思決定単位
Reference Set	参照集合
Efficient	効率的
Efficient Frontier	効率的フロンティア

1.9 文献案内

DEAは，Charnes ほか (1978年) が提案したCCRモデルに始まる．このモデルは チャプター 2 で扱う．

本書で扱わないモデルや応用例については，Cooper ほか (2007年) が体系的な教科書であり，Cooper ほか (2011年) には各分野の専門家による解説が収められている．

1.10 練習問題

練習 1.1 (1入力1出力) 次の表のような入力と出力が与えられたとき，効率的なDMUを求めよ．効率性を [0,1] の範囲で評価せよ．

DMU	A	B	C	D	E
入力	4	7	8	5	6
出力	2	7	9	4	5

解答 1.1. まず，出力を入力で割った比 y_j/x_j を求める．この値は1を超えることがあるため，最大値で割って [0,1] の範囲に収める．

import pandas as pd

data = {
    "DMU": ["A", "B", "C", "D", "E"],
    "input": [4, 7, 8, 5, 6],
    "output": [2, 7, 9, 4, 5],
}
df = pd.DataFrame(data)
df["ratio"] = df["output"] / df["input"]
df["efficiency"] = df["ratio"] / df["ratio"].max()
print(df)

  DMU  input  output     ratio  efficiency
0   A      4       2  0.500000    0.444444
1   B      7       7  1.000000    0.888889
2   C      8       9  1.125000    1.000000
3   D      5       4  0.800000    0.711111
4   E      6       5  0.833333    0.740741

効率性が1となるDMU Cが効率的である．

練習 1.2 (2入力1出力) 次の表のような入力と出力が与えられたとき，効率的なDMUを求めよ．

DMU	A	B	C	D	E
入力1	6	6	12	4	15
入力2	4	12	9	8	5
出力	2	6	3	2	5

解答 1.2. 下の図より，DMU B，Eが効率的であることがわかる．

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

data = {
    "DMU": ["A", "B", "C", "D", "E"],
    "input1": [6, 6, 12, 4, 15],
    "input2": [4, 12, 9, 8, 5],
    "output": [2, 6, 3, 2, 5],
}
df = pd.DataFrame(data)
x = df["input1"] / df["output"]
y = df["input2"] / df["output"]
plt.scatter(x, y, color="#144f78")
for i in range(len(df)):
    plt.text(x[i] + 0.1, y[i], df["DMU"][i])
# 効率的フロンティアの描画 B-E
plt.plot(
    [1, 1, 3, 6],
    [6, 2, 1, 1],
    color="#b03535",
    linestyle="--",
    label="efficient frontier",
)
plt.xlabel("input1/output")
plt.ylabel("input2/output")
plt.xlim(0, 6)
plt.ylim(0, 6)
plt.grid()
plt.show()

Charnes, A, W W Cooper, と E Rhodes. 1978年. 「Measuring the efficiency of decision making units」. Eur. J. Oper. Res. 2 (6): 429–44.

Cooper, William W, Lawrence M Seiford, と Kaoru Tone. 2007年. Data envelopment analysis: A comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver software. 2番目 版. Springer.

Cooper, William W, Lawrence M Seiford, と Joe Zhu, 編. 2011年. Handbook on data envelopment analysis. 2番目 版. Springer.