13 経済的発注量

経済的発注量（EOQ: Economic Order Quantity）モデルは，最も基本的な在庫管理モデルの一つである．Harris (1990) がこのモデルを最初に提案した．

EOQモデルは，単位時間あたりの需要量は決定論的で，一定であると仮定する．すなわち，需要量は事前に分かっており，時間とともに変化しない．単位時間あたりの需要量は需要率（demand rate）と呼ばれ，記号 $d$ で表される．リードタイムは0とし，発注から納品までの時間はないと仮定する．一回の発注量を $Q$ とし，一定であるとする．欠品は許せないとする．全ての需要は満されなければならない．また，EOQモデルでは，在庫量は連続的に観測され，いつでも発注が可能であるとする．

在庫に関わる費用は，1回あたりの発注費用 $K$，単位時間あたりの1単位の保管費用 $h$ と，購入単価 $c$ がある．

EOQモデルの最適解は次の二つの性質を持つ(Snyder と Shen 2019)：

Zero-inventory ordering (ZIO). 在庫量が0のときに発注を行う．リードタイムは0であるため，在庫量が0でないときに発注すると，保管費用が発生する．
Constant order sizes. 発注量は一定である．需要率 $d$ が一定であり，在庫量が0のときに発注を行うため，最適発注量も一定である．

以上の性質から，在庫量の時間的変化は下図のようになる．

コード

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Parameters
d = 250  # Demand rate
Q = 500  # Order quantity
T = Q / d  # Cycle length
t = np.linspace(0, 3 * T, 1000)  # Time from 0 to 3 cycles

# Inventory level over time
inventory = np.maximum(0, Q - (d * t) % Q)
inventory[0] = 0

# Plotting the inventory level
plt.plot(t, inventory, label="Inventory Level", color="black", linewidth=2)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Inventory Level")
plt.axhline(0, color="gray", linewidth=1)
plt.ylim(bottom=0, top=Q + 100)
plt.tight_layout()
plt.show()

発注の間隔をサイクル(cycle)と呼び，サイクル期間は

\[ T = \frac{Q}{d} \]

で与えられる．

例 13.1 A社は，毎月250個の需要がある商品を取り扱っている．一回の発注量は500個とし，サイクル期間は

\[ T = \frac{500}{250} = 2 \text{ヶ月} \]

となる．

13.1 記号

記号	意味
$d$	単位時間あたりの需要量
$K$	1回あたりの発注費用
$h$	単位時間あたりの1単位の保管費用
$c$	購入単価
$Q$	発注量
$T$	サイクル期間
$g(Q)$	平均コスト

13.2 コスト関数

ここでは，1サイクルあたりのコストを考える．

発注費用：発注は1回だけ行うため，発注費用は $K$ である．

購入費用：$Q$ 個の商品を単価 $c$ で購入するため，購入費用は $cQ$ である．

保管費用：サイクル期間 $T$ は $\frac{Q}{d}$ であるため，1サイクルあたりの保管費用は

\[ \frac{TQ}{2} h = \frac{hQ^2}{2d} \]

となる．

以上より，1サイクルあたりのコストは次のように表される．

\[ K + cQ + \frac{hQ^2}{2d} \]

平均コストは，これをサイクル期間 $T$ で割ったものとして定義される．したがって，平均コスト $g(Q)$ は次のように表される．

\[\begin{align*} g(Q) &= \frac{1}{T} \left( K + cQ + \frac{hQ^2}{2d} \right) \\ &= \frac{d}{Q} \left( K + cQ + \frac{hQ^2}{2d} \right) \\ &= \frac{Kd}{Q} + c d + \frac{hQ}{2} \end{align*}\]

以上より，平均コストは発注量 $Q$ の関数として次のように表される．

\[ g(Q) = \frac{Kd}{Q} + cd + \frac{hQ}{2} \]

13.3 最適発注量

EOQモデルの目的は，平均コスト $g(Q)$ を最小化する発注量 $Q$ を求めることである．

平均コストの導関数 $g'(Q)$ が 0 となる点を求めることで，最適発注量 $Q^*$ を求めることができる．

\[ g'(Q) = -\frac{Kd}{Q^2} + \frac{h}{2} = 0 \]

これを解くと，最適発注量

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2Kd}{h}} \]

を得る．これをEOQ公式（EOQ formula）と呼ぶ．$Q^*$ を経済的発注量と呼ぶ（経済的は最適という意味である）．

二階導関数 $g''(Q)$ を求めて，最適発注量が最小値を与えることを確認する．

\[ g''(Q) = \frac{2Kd}{Q^3} > 0 \]

$g''(Q) > 0$ であるため，$Q^*$ は最小値を与える．

最適発注量 $Q^*$ を次の定理にまとめる．

定理 13.1 EOQモデルにおいて，最適発注量 $Q^*$ は \[ Q^* = \sqrt{\frac{2Kd}{h}} \tag{13.1}\]

で与えられる．

$Q^*$ を用いて，最適なサイクル期間 $T^*$ を求めることができる．

\[ T^* = \frac{Q^*}{d} = \sqrt{\frac{2K}{hd}} \tag{13.2}\]

式 13.1 と式 13.2 から，以下の性質がわかる．

$h$ の増加に伴い，$Q^*$ は減少する．保管費用が高い場合は，少量で高い頻度で発注することが望ましい．
$K$ の増加に伴い，$Q^*$ は増加する．発注費用が高い場合は，多量で低い頻度で発注することが望ましい．
$d$ の増加に伴い，$Q^*$ は増加する．
$c$ は $Q^*$ に影響しない．購入単価は最適発注量に影響しない．

次の図は，購入単価を $c = 0$ とするとき，平均コスト $g(Q)$，発注コスト $\frac{Kd}{Q}$，保管コスト $\frac{hQ}{2}$ のグラフを示す．

コード

# Parameters
K = 40  # Order cost
h = 10  # Holding cost
d = 5  # Demand rate
Q = np.linspace(1, 40, 400)  # Order quantity from 1 to 40

# Cost calculations
order_cost = K * d / Q
holding_cost = (h * Q) / 2
average_cost = order_cost + holding_cost
optimal_Q = np.sqrt(2 * K * d / h)

# Plotting the costs
plt.plot(Q, order_cost, label=r"$Kd/Q$", color="blue")
plt.plot(Q, holding_cost, label=r"$hQ/2$", color="orange")
plt.plot(Q, average_cost, label=r"$g(Q)$", color="green", linewidth=2)
plt.axvline(optimal_Q, color="red", linestyle="--", label=r"$Q^*$")
plt.xlabel("Order Quantity Q")
plt.ylabel("Cost")
plt.ylim(bottom=0)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

平均コストが最小となる発注量 $Q^*$ は，発注コストと保管コストの交差点である．すなわち，発注コストと保管コストを等しくする発注量は最適な発注量 $Q^*$ である．この性質は以下の式からわかる．

\[ \frac{Kd}{Q^*} = \frac{hQ^*}{2} \Longrightarrow Q^* = \sqrt{\frac{2Kd}{h}} \]

また，この図からもわかるように，$Q$ の増加に伴い，平均発注コストは減少し，平均保管コストは増加する．逆もまた然りである．

例 13.2 ある電気量販店では，毎月250台のPCが販売されている．発注費用は5000円，保管費用は1台あたり月150円，購入単価は10万円とする．このとき，最適発注量 $Q^*$ は次のように求められる．

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 250}{150}} \]

Excel では，下記のように計算できる．

=SQRT(2 * 5000 * 250 / 150)

13.4 アルゴリズムと実装

\begin{algorithm} \caption{Calculate optimal order quantity $Q^*$ using EOQ formula} \begin{algorithmic} \Procedure{EOQ}{$K, d, h$} \State $Q^* \gets \sqrt{2Kd/h}$ \State \textbf{return} $Q^*$ \EndProcedure \end{algorithmic} \end{algorithm}

Python では，次のようにeoq(K, d, h) 関数を定義し，最適発注量を計算できる．

def eoq(K, d, h):
    """
    Calculate the Economic Order Quantity (EOQ).

    Parameters:
    K (float): Order cost
    d (float): Demand rate
    h (float): Holding cost

    Returns:
    float: Optimal order quantity Q*
    """
    return np.sqrt(2 * K * d / h)


if __name__ == "__main__":
    K = 5000  # Order cost
    d = 250  # Demand rate (units per month)
    h = 150  # Holding cost (per unit per month)

    Q_star = eoq(K, d, h)
    T_star = Q_star / d
    print(f"Optimal Order Quantity (Q*): {Q_star:.2f}")
    print(f"Optimal Cycle Time (T*): {T_star:.2f}")

Optimal Order Quantity (Q*): 129.10
Optimal Cycle Time (T*): 0.52

PCの場合は，注文量が整数である必要があるため，$g(129)$ と $g(130)$ を比較して最適発注量を決定する．

13.5 リードタイム*

EOQ モデルでは，リードタイムは0と仮定している．リードタイムが $L > 0$ の場合も，最適発注量 $Q^*$ も変換せず，$L$ 期間前に $Q^*$ を発注すればよい．

ここでは，$r$ を発注点（reorder point）とする．在庫量が $r$ になったときに発注を行う．リードタイム $L$ の間に需要が $dL$ 個あるため，発注点は次のように表される．

\[ r = dL \]

例 13.3 上の例で，リードタイムが一週間とし，一か月を4週間とすると，リードタイムは $L = 1/4$ となる．したがって，発注点は次のように求められる．

\[ r = dL = 250 \times \frac{1}{4} = 62.5 \]

PCの在庫量が63台になったときに発注を行う．

13.6 他のEOQモデル*

バックオーダーを考慮したEOQモデル
数量割引（quantity discount）を考慮したEOQモデル
- 総量割引（all-units discount）
- 増分割引（incremental discount）

13.7 文献案内

オペレーションズ・リサーチに関する教科書の多くは，EOQモデルを取り扱っている．モデルの分類から，「deterministic continuous-review inventory models」などの章で説明されていることが多い．

リードタイムを考慮したEOQモデルについては，Snyder と Shen (2019) で説明されている．

数量割引を考慮したEOQモデルについては，Snyder と Shen (2019) ，Camm ほか (2022) で説明されている．

バックオーダーを考慮したEOQモデルについては，Snyder と Shen (2019) ，Camm ほか (2022) ，Hillier と Lieberman (2025) で説明されている．

13.8 練習問題

練習 13.1 (EOQ for Vaccines) ある病院では，毎月300本のワクチンを使用している．ワクチンの製造業者に発注するたびに，固定費用として100ドルがかかる．ワクチン1本あたりの保管費用は，年間3ドルである．EOQモデルを用いて，次の問いに答えよ．

最適な発注量 $Q^*$ を求めよ．
固定費用が減少した場合，最適発注量はどのように変化するか説明せよ．

練習 13.2 EOQモデルに基づき，次の各条件の変化が最適発注量 $Q^*$ にどのような影響を与えるかを説明せよ．

発注費用が2倍になった場合．
保管費用が0.25倍になった場合．
需要率が4倍になった場合

練習 13.3 (EOQ for Steel) ある工場は，鋼材を毎日16トン消費し，年間250日稼働している．鋼材の購入単価は1トンあたり1100ドル，1回の発注にかかる固定費は5500ドル，保管費は鋼材1トンあたり年間は275ドルである．EOQモデルを用いて，次の問いに答えよ．

最適な発注量を求めよ．
最適なサイクル期間を求めよ．
年間の平均費用を求めよ．

練習 13.4 (EOQ for Smartphones) ある家電量販店では，あるスマートフォンを毎週50台販売している．店舗はスマートフォンを1台あたりメーカーに10万円で購入している．毎回の発注には発注処理や配送などで5000円の固定費がかかる．また，スマートフォン1台あたりの保管費用は1週間で100円である．EOQモデルを用いて，次の問いに答えよ．

最適な発注量を求めよ．
最適なサイクル期間を求めよ．

解答 13.1. 需要率は $d = 50$ で，発注費用は $K = 5000$，保管費用は $h = 100$ である．

経済的発注量 $Q^*$ は \[ Q^* = \sqrt{\frac{2Kd}{h}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 50}{100}} \approx 70.71 \text{ 台} \] となる．スマートフォンの場合は，注文量が整数である必要があるため，$g(70)$ と $g(71)$ を比較して最適発注量を決定する．

\[ g(70) = \frac{5000 \cdot 50}{70} + 100 \cdot 70 / 2 \approx 7071.43 \] \[ g(71) = \frac{5000 \cdot 50}{71} + 100 \cdot 71 / 2 \approx 7071.13 \] $g(71) < g(70)$ であるため，最適発注量は $Q^* = 71$ 台となる．

サイクル期間 $T^*$ は \[ T^* = \frac{Q^*}{d} = \frac{71}{50} = 1.42 \text{ 週間} \] となる．

コード

import numpy as np

K = 5000  # Order cost
d = 50  # Demand rate (units per week)
h = 100  # Holding cost (per unit per week)
Q_star = np.sqrt(2 * K * d / h)


# Since order quantity must be an integer, compare g(70) and g(71)
def g(Q):
    return (K * d / Q) + (h * Q / 2)


g_70 = g(70)
g_71 = g(71)
optimal_Q = 70 if g_70 < g_71 else 71
T_star = optimal_Q / d
print(f"Optimal Order Quantity (Q*): {optimal_Q} units")
print(f"Optimal Cycle Time (T*): {T_star:.2f} weeks")

Optimal Order Quantity (Q*): 71 units
Optimal Cycle Time (T*): 1.42 weeks