付録 D — 線形代数

D.1 固有値と固有ベクトル

n \times n 行列 \mathbf{A} に対し，ベクトル \mathbf{x} \neq \mathbf{0} とスカラー \lambda が存在して， \mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} が成り立つとき，\mathbf{x} を \mathbf{A} の固有ベクトル (eigenvector)，\lambda を \mathbf{A} の固有値 (eigenvalue) と呼ぶ．

例 D.1 次のような \mathbf{A}, \mathbf{x}, \lambda を考える． \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \quad \lambda = 2

このとき，

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

が成り立つため，\mathbf{x} は \mathbf{A} の固有ベクトル，\lambda は \mathbf{A} の固有値である．

\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} は単位行列 \mathbf{I} を用いて (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{x} = \mathbf{0} と書ける．このとき，\mathbf{x} \neq \mathbf{0} であるため，\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 が成り立つ．

例 D.2 次のような行列 \mathbf{A} を考える． \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix}

このとき，\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) は以下のようになる．

\begin{align*} \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) &= \det\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 1/2 & 1 - \lambda \\ \end{bmatrix} \\ &= (1 - \lambda)^2 - 1 \\ &= \lambda^2 - 2\lambda \\ &= \lambda(\lambda - 2) \end{align*}

\lambda(\lambda - 2) = 0 より，\lambda = 0, 2 が得られる．