付録 D — 線形代数

D.1 固有値と固有ベクトル

\(n \times n\) 行列 \(\mathbf{A}\) に対し，ベクトル \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) とスカラー \(\lambda\) が存在して， \[ \mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \] が成り立つとき，\(\mathbf{x}\) を \(\mathbf{A}\) の固有ベクトル (eigenvector)，\(\lambda\) を \(\mathbf{A}\) の固有値 (eigenvalue) と呼ぶ．

例 D.1 次のような \(\mathbf{A}, \mathbf{x}, \lambda\) を考える． \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \quad \lambda = 2 \]

このとき，

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

が成り立つため，\(\mathbf{x}\) は \(\mathbf{A}\) の固有ベクトル，\(\lambda\) は \(\mathbf{A}\) の固有値である．

\(\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\) は単位行列 \(\mathbf{I}\) を用いて \((\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{x} = \mathbf{0}\) と書ける．このとき，\(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) であるため，\(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0\) が成り立つ．

例 D.2 次のような行列 \(\mathbf{A}\) を考える． \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1/2 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

このとき，\(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\) は以下のようになる．

\[\begin{align*} \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) &= \det\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 1/2 & 1 - \lambda \\ \end{bmatrix} \\ &= (1 - \lambda)^2 - 1 \\ &= \lambda^2 - 2\lambda \\ &= \lambda(\lambda - 2) \end{align*}\]

\(\lambda(\lambda - 2) = 0\) より，\(\lambda = 0, 2\) が得られる．