9.1. ブール演算#
コンピューターでは，すべての情報を0または1で表現する．このような情報をビット（bit）と呼ぶ．ビットは，binary digitの混成語である．また，ビットは情報量の最小単位である．一桁のビットは，0または1のどちらかの値を取る．
ビットは一般的に0または1と表現されるが，FalseまたはTrueという真理値としての表現もよく使われる．
このような真理値（0と1）を扱うための数学的な体系をブール代数（Boolean algebra）と呼ぶ．ブール代数は，イギリスの数学者ジョージ・ブール（George Boole）によって考案された．ブール演算は，AND，OR，NOT，XORなどの論理演算子を使って真偽値を操作する．
9.1.1. ゲート#
コンピューターでは，ゲート（gate，論理ゲート，logic gate）と呼ばれる装置を使ってブール演算を実行する．ゲートは，一つまたは複数の入力信号を受け取り，それらの信号を処理して出力信号を生成する．
ここでは，以下の4つの基本的な論理ゲートを紹介する．
AND
OR
NOT
XOR
これらのゲートをの紹介には，論理式，真理値表，MIL記号を使う．
論理式（Boolean expressions）は，数学記号を使って，数式で真理値の演算を表現する．真理値表（truth table）は，ゲートのすべての入力組み合わせに対して，出力の真理値を示す表である．MIL記号（MIL symbols）は，論理ゲートを図で表現するための記号である．
9.1.1.1. ORゲート#
\(p\)と\(q\)を真理値とするとき，\(p\)と\(q\)の論理和（logical disjunction）は，\(p \lor q\)と書く．その真理値表は以下の通りである．
\(p\) |
\(q\) |
\(p \lor q\) |
|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
論理和の演算では，\(p\)または\(q\)のどちらかが\(1\)（真）のとき，出力が\(1\)（真）となる．
論理和の演算を行うORゲートは次のようにMIL記号で表現される．
Fig. 9.1 ORゲート#
9.1.1.2. ANDゲート#
\(p\)と\(q\)を真理値とするとき，\(p\)と\(q\)の論理積（logical conjunction）は，\(p \land q\)と書く．その真理値表は以下の通りである．
\(p\) |
\(q\) |
\(p \land q\) |
|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
論理和の演算では，\(p\)が\(1\)（真）でかつ\(q\)が\(1\)（真）のときだけ，出力が\(1\)（真）となる．
論理和の演算を行うANDゲートは次のようにMIL記号で表現される．
Fig. 9.2 ANDゲート#
9.1.1.3. NOTゲート#
\(p\)を真理値とするとき，\(p\)の否定（negation）は，\(\lnot p\)と書く．その真理値表は以下の通りである．
\(p\) |
\(\lnot p\) |
|---|---|
0 |
1 |
1 |
0 |
否定の演算では，入力が\(1\)（真）のとき，出力が\(0\)（偽）となり，入力が\(0\)（偽）のとき，出力が\(1\)（真）となる．
否定の演算を行うNOTゲートは次のようにMIL記号で表現される．
Fig. 9.3 NOTゲート#
9.1.1.4. XORゲート#
p |
q |
p AND q |
p OR q |
NOT p |
p XOR q |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
9.1.2. 記号#
記号 |
意味 |
|---|---|
\(\land\) |
AND |
\(\lor\) |
OR |
\(\lnot\) |
NOT |
\(\oplus\) |
XOR |
9.1.2.1. やってみよう#
#include <stdio.h>
int main() {
int p, q;
printf("Please enter p and q, where p and q are either 0 or 1.\n");
printf("Enter p: ");
scanf("%d", &p);
printf("Enter q: ");
scanf("%d", &q);
printf("p = %d, q = %d\n", p, q);
printf("*** Logical Operations ***\n");
printf("p AND q = %d\n", p && q);
printf("p OR q = %d\n", p || q);
printf("NOT p = %d\n", !p);
printf("p XOR q = %d\n", p ^ q);
return 0;
}