二進法

9.2. 二進法#

9.2.1. 10進数と２進数#

10進数	2進数
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001

1234 = 10 \times 10^{3} + 2 \times 10^{2} + 3 \times 10^{1} + 4 \times 10^{0}

1011_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 11

100101_{2} = 1 \times 2^{5} + 0 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 37

アルゴリズム

与えられた値を２で割った商と余りを求める。
商が0になるまで繰り返す。
商が0になったら、余りを逆順に並べる。

9.2.1.1. Example: 101101の10進数を求める#

101101_{2} = 1 \times 2^{5} + 0 \times 2^{4} + 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 45

9.2.1.2. Example: 13の２進数を求める#

13を2で割ると、商6、余り1
6を2で割ると、商3、余り0
3を2で割ると、商1、余り1
1を2で割ると、商0、余り1
商が0になったので、余りを逆順に並べる。
13の２進数は1101である。

9.2.2. ２進加算#

\begin{array}{r} \begin{matrix} 58 \\ + 27 \\ 85 \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{matrix} 111010 \\ + 11011 \\ 1010101 \end{matrix} \end{array}

9.2.3. ２の補数記法#

２の補数(two’s complement)記法は、コンピュータで整数を表現する最も一般的な体系である。

長さ３のパターン

ビットパターン	表現する値
011	3
010	2
001	1
000	0
111	-1
110	-2
101	-3
100	-4

最左端のビットが符号を表す。符号ビットと呼ぶ。
絶対値が同じである正負の値を表現するビットパターンの間に簡潔な関係がある。
- 右から読んでいくと、最初の１が現れるまでのビットが同一である。
- その１から右のビットは、お互いに補な関係がある。

9.2.3.1. Example: 1010を解読する#

1010の符号ビットは1なので、負の数である。
1010を正の数に変換すると、0110である。
0110の値は6である。
1010は-6を表す。

9.2.3.2. 2の補数記法による加算#

2の補数記法による加算は、解も含めて全てのビットパターンが同じ長さである。
2の補数記法による加算は、通常の加算と同じように行い、左端に生成される余分なビットを切り捨てる。

9.2.3.2.1. Example: 0101 + 0010#

\begin{array}{r} \begin{matrix} 0101 \\ + 0010 \\ 0111 \end{matrix} \end{array}

9.2.3.2.2. Example: 0111 + 1011#

\begin{array}{r} \begin{matrix} 0111 \\ + 1011 \\ 0010 \end{matrix} \end{array}

0111 + 1011 = 10010 であるが、最左端のビットを切り捨てる。

0111_{2} = 7_{10}

1011_{2} = - 5_{10}

0010_{2} = 2_{10}

9.2.3.3. 2の補数記法による減算#

7 - 5 = 7 + (- 5) = 2

7の2の補数を求める。 $7 = 0111_{2}$
5の2の補数を求める。 $5 = 0101_{2}$
$- 5 = 1011_{2}$
$0111_{2} + 1011_{2} = 0010_{2}$

9.2.3.4. オーバーフロー#

9.2.3.4.1. やってみよう#

#include <stdio.h>

int main() {
    char a = 127;
    char b = 1;
    char c = a + b;
    printf("a = %d, b = %d\n", a, b);
    printf("a + b = %d\n", c);
    return 0;
}

char型は8ビットで表現され、最大値は127であり、最小値は-128である。問題 $127 + 1$ の結果は、char型の範囲を超え、 $128$ が得られないことになる。このような現象をオーバーフローと呼ぶ。

9.2.3.4.2. 2038年問題#

2038年問題

9.2.3.5. １６進記法#

ビットパターン	16進数
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

１６進記法では、４ビットのパターンを１つの記号で表現できる。

9.2.3.5.1. Example: 2進数を16進数に変換する#

1011_{2} = B_{16}

{1011 0101 0011}_{2} = {B53}_{16}

9.2.4. 小数#

9.2.4.1. 浮動小数点記法#

符号ビット
指数部
仮数部

9.2.5. 練習問題#

次のビットパターンを16進記法で表現せよ。
- 0101 1010
- 1100 0011 1010
- 1111 0001 0100 1001
次の16進数をビットパターンで表現せよ。
- 610A
- ABCD
- 5F3A
- 0100
$p = 1, q = 0$ のとき、次の論理式の値を求めよ。
- $p \land q$
- $p \lor q$
- $\neg p$
次の10進数を2進数に変換せよ。
1. 32
2. 64
3. 15
4. 27
次の2進数を10進数に変換せよ。
1. 101010
2. 100011
3. 0110
4. 11111
次の２進数の和を求めよ。
1. 101 + 110
2. 1101 + 1011
3. 10101 + 11011
4. 101010 + 11011

9.2.5.1. 2の補数#

次の２の補数表現を、それぞれ等しい10進数に変換せよ。
1. 00011
2. 01111
3. 11100
4. 11010
5. 00000
6. 10000
次の１０進数をそれぞれ等しい8ビットパターンの２の補数表現に変換せよ。
1. 6
2. -6
3. -17
4. 13
5. -1
6. 0

二進法

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