5 関数

5.1 関数の定義

A と B を集合とするとき，関数 f は，A の各要素に対して B の要素を対応させる規則であり，

f: A \to B

と書く．

例 5.1 A = \{1, 2, 3\}，B = \{4, 5, 6\} とするとき，f(1) = 4，f(2) = 5，f(3) = 6 と定義される関数 f: A \to B がある．

f(x) という記号は，入力 x に対して関数 f が出力する値を表す．y = f(x) と書くとき，入力 x に対して，関数 f が出力する値 y を決定する．x \mapsto y と書くこともある．

例 5.2 f(x) = 2x + 1 という関数を Python で定義するには，次のようにする．

def f(x):
    return 2 * x + 1

f(3)

この関数に x = 3 を入力すると，f(3) = 7 となる．

Python での関数の定義

Python では，def キーワードを使って関数を定義する．: と字下げに注意すること．

関数は複数の引数（arguments）を持つこともできる．例えば，f(x, y) = x + y という関数は，2つの引数 x と y を持ち，その和を出力する．

例 5.3 f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1 + 2x_2 + x_3 という関数を Python で定義するには，次のようにする．

def f(x1, x2, x3):
    return 3 * x1 + 2 * x2 + x3

f(1, 1, 1)

x_1 = 1，x_2 = 1，x_3 = 1 のとき，f(1, 1, 1) = 6 となる．

関数が区分的に定義されることもある．

例 5.4 次のような関数を考える．

f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

この関数は，x が 0 以上のときは x^2 を出力し，x が 0 未満のときは -x を出力する．Python で定義するには，次のようにする．

def f(x):
    if x >= 0:
        return x ** 2
    else:
        return -x

print(f(3))
print(f(-3))

9
3

f(3) = 9 であり，f(-3) = 3 である．

数学でよく使われる関数には，次のようなものがある．

|x| は，x の絶対値を表す関数である．

Python では，abs() 関数を使う．

abs(-3)

e^x は，ネイピア数 e を底とする指数関数である．

Python では，math.exp() 関数を使う．

import math

math.exp(1)

2.718281828459045

床関数 \lfloor x \rfloor は，x 以下の最大の整数を返す関数である．天井関数 \lceil x \rceil は，x 以上の最小の整数を返す関数である．英語では，floor と ceiling と呼ばれる．

Python では，math.floor() 関数と math.ceil() 関数を使う．

import math

math.floor(3.7)

import math

math.ceil(3.3)

練習 5.1 if 文を使って，|x| を計算する関数 abs_val(x) を定義せよ．

練習 5.2 床関数と天井関数を計算する関数 floor_val(x) と ceil_val(x) を定義せよ．ただし，math モジュールを使わないこと．

ヒント：int(x) は，x を整数に変換する関数である．

練習 5.3 次の関数を Python で定義せよ．

f(x) = \begin{cases} -1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases}

ヒント：elif を使うと，3 つの場合に分けることができる．

練習 5.4 次の関数を Python で定義せよ．

f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x - y}