付録 C — 関数

本章では，数学における関数を定義し，プログラミングにおける関数の使い方を学ぶ．さらに，絶対値，指数，対数，床関数と天井関数を扱う．

Python の関数の定義や条件分岐には，チャプター 2 で学んだ書き方を用いる．

C.1 関数の定義

A と B を集合とするとき，関数（function）f は，A の各要素に対して B の要素をただ一つ対応させる規則であり，

f: A \to B

と書く．

例 C.1 A = \{1, 2, 3\}，B = \{4, 5, 6\} とするとき，f(1) = 4，f(2) = 5，f(3) = 6 と定義される関数 f: A \to B がある．図 C.1 に，この対応を示す．

f(x) という記号は，入力 x に対して関数 f が出力する値を表す．入力 x と出力 y の関係を y = f(x) と書く．この対応を x \mapsto f(x) と書くこともある．

入力の値によって異なる式を使う関数を，区分的に定義される関数という．Python では，if 文を使って場合分けを表す．

例 C.2 次のような関数を考える．

f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

この関数は，x が 0 以上のときは x^2 を出力し，x が 0 未満のときは -x を出力する．Python で定義するには，次のようにする．

def f(x):
    if x >= 0:
        return x ** 2
    else:
        return -x

print(f(3))   # 9
print(f(-3))  # 3

9
3

f(3) = 9 であり，f(-3) = 3 である．

練習 C.1 次の関数を Python で定義せよ．

f(x) = \begin{cases} -1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases}

数学でよく使われる関数には，Python にあらかじめ用意されているものがある．ここでは，組み込み関数と math モジュールの関数を使う．

import math

以降のコードでは，このインポートがすでに行われているものとする．

例 2.1 で扱った絶対値 |x| は，Python の組み込み関数 abs() で計算できる．

例 C.3 |-3| = 3 である．Python では次のように計算できる．

print(abs(-3))  # 3

e^x は，ネイピア数 e を底とする指数関数（exponential function）である．e は約 2.71828 の値を持つ定数である．

Python では，math.exp() 関数を使う．

例 C.4 x = 1 のとき，e^x = e となる．

print(math.exp(1))  # 2.718281828459045

2.718281828459045

a > 0，a \ne 1，b > 0 とする．対数 \log_a b は，a を何乗すると b になるかを表す．べき乗との関係は次の通りである．

a^x = b \iff x = \log_a b

対数を計算するには，math モジュールの log() 関数を使う．math.log(b, a) と書くと，底を a とする b の対数を求められる．引数の順序に注意しよう．

例 C.5 2^3 = 8 であるため，\log_2 8 = 3 となる．

print(math.log(8, 2))  # 3.0

3.0

底を e とする対数を自然対数といい，\ln x と書く．指数関数との関係は，x > 0 に対して次のように表される．

e^y = x \iff y = \ln x

Python では，math.log(x) のように底を省略すると，自然対数を計算できる．

例 C.6 \ln e = 1 と e^1 = e を Python で確かめる．

print(math.log(math.e))  # 1.0
print(math.exp(1))       # 2.718281828459045

1.0
2.718281828459045

練習 C.2 \log_3 81 の値を計算し，print() 関数で表示せよ．

床関数（floor function）\lfloor x \rfloor は，x 以下の最大の整数を返す関数である．天井関数（ceiling function）\lceil x \rceil は，x 以上の最小の整数を返す関数である．

Python では，math.floor() 関数と math.ceil() 関数を使う．

例 C.7 \lfloor 3.7 \rfloor = 3，\lceil 3.3 \rceil = 4 である．負の数についても，同じ定義に従って計算する．

print(math.floor(3.7))   # 3
print(math.ceil(3.3))    # 4
print(math.floor(-3.7))  # -4
print(math.ceil(-3.3))   # -3

3
4
-4
-3

練習 C.3 床関数と天井関数を計算する関数 floor_val(x) と ceil_val(x) を定義せよ．ただし，math モジュールを使わないこと．

ヒント：int(x) は，小数部分を取り除いて整数に変換する．例えば，int(3.7) は 3，int(-3.7) は -3 となる．

練習 C.4 次の関数を Python で定義し，f(3, 1) と f(1, 3) の値を表示せよ．ただし，x \ne y とする．

f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x - y}

本章では，関数の数学的な意味と，代表的な関数の計算方法を学んだ．