前章で学んだ平均値や中央値は，データの中心を表す．しかし，中心が同じでも，値がその近くに集まっている場合と，広く散らばっている場合がある．
本章では，まず四分位数と四分位範囲を学び，箱ひげ図でデータの中心とばらつきを確認する．その後，ばらつきを表す別の指標である分散と標準偏差を学ぶ．
チャプター 6 で使った，2025 年の東京の 8 月の最高気温 31 日分を，もう一度見てみよう．小さい順に並べ，1 行に 8 個ずつ示すと，次のようになる．単位は℃である．
\begin{gathered} 27.7,\ 29.3,\ 30.1,\ 31.1,\ 31.4,\ 32.5,\ 32.6,\ 32.8, \\ 33.2,\ 33.6,\ 33.9,\ 34.1,\ 34.8,\ 35.0,\ 35.0,\ 35.1, \\ 35.1,\ 35.1,\ 35.2,\ 35.8,\ 36.0,\ 36.1,\ 36.1,\ 36.3, \\ 36.6,\ 36.8,\ 36.8,\ 37.0,\ 37.0,\ 37.3,\ 38.5 \end{gathered}
データが 31 個なので，中央値は 16 番目の値である．この場合，35.1℃ となる．
中央値は，小さい順に並べたデータの中央の位置を表す．さらに，およそ 4 分の 1 と 4 分の 3 の位置にも注目すると，中央付近の値がどの範囲に集まっているかを捉えられる．このように，データを四つに分ける位置を表す値を四分位数という．
| 名前 | 記号 | 小さい方から見た位置の目安 |
|---|---|---|
| 第 1 四分位数 | Q_1 | 25% の位置 |
| 第 2 四分位数 | Q_2 | 50% の位置（中央値） |
| 第 3 四分位数 | Q_3 | 75% の位置 |
この例では，Q_1=33.0℃，Q_2=35.1℃，Q_3=36.2℃ となる．1 番目の値の位置を 0%，31 番目の値の位置を 100% と考えると，25% の位置は 1+30\times0.25=8.5 番目，つまり 8 番目と 9 番目の値のちょうど中間にあたる．そこで，Q_1 は 8 番目と 9 番目の値の平均 (32.8+33.2)/2=33.0 とする．同じように，75% の位置は 1+30\times0.75=23.5 番目なので，Q_3 は 23 番目と 24 番目の値の平均 (36.1+36.3)/2=36.2 となる．50% の位置は 1+30\times0.5=16 番目であり，中央値と一致する．
Python では，np.percentile() を使って計算できる．第 2 引数に，小さい方から何%の位置を求めるかを指定する．ここでは，セクション 5.3 と同じように tokyo_daily.csv を読み込み，month が 8 の行から最高気温の列を取り出す．
import numpy as np
import pandas as pd
daily = pd.read_csv("tokyo_daily.csv")
august = daily[daily["month"] == 8]
august_max = august["temp_max_c"]
q1 = np.percentile(august_max, 25)
median = np.percentile(august_max, 50)
q3 = np.percentile(august_max, 75)
print("第1四分位数:", q1)
print("中央値:", median)
print("第3四分位数:", q3)第1四分位数: 33.0
中央値: 35.1
第3四分位数: 36.2第 3 四分位数から第 1 四分位数を引いた値を，四分位範囲（interquartile range，IQR）という．
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1
四分位範囲は，中央のおよそ半分のデータが集まる範囲の幅を表す．この値が大きいほど，中央付近のデータが広く散らばっている．
8 月の例では，Q_1=33.0℃ から Q_3=36.2℃ までの幅なので，四分位範囲は 36.2-33.0=3.2℃ となる．
iqr = q3 - q1
print("四分位範囲:", round(iqr, 1))四分位範囲: 3.2小数の計算では，コンピュータの内部でわずかな誤差が生じることがある．q3 - q1 をそのまま表示すると 3.200000000000003 となるため，round(値, 1) で小数第 1 位までに丸めて表示した．
箱ひげ図（box plot）は，中央値と四分位数を使って，データの中心とばらつきを表すグラフである．複数のグループを並べると，分布の違いを比べやすい．
ここでは，縦向きの箱ひげ図を使う．箱の下端が第 1 四分位数 Q_1，上端が第 3 四分位数 Q_3，箱の中の線が中央値を表す．したがって，箱の高さは四分位範囲に等しい．
箱の上下に伸びる線を「ひげ」という．Matplotlib の標準設定では，次の範囲に入る観測値のうち，最小の値と最大の値までひげを伸ばす．
Q_1-1.5\times\mathrm{IQR} \quad\text{から}\quad Q_3+1.5\times\mathrm{IQR}
この範囲の外にある値は，個別の点で表示される．そのため，ひげの端がデータ全体の最小値や最大値になるとは限らない．
8 月の例では，この範囲は 33.0-1.5\times3.2=28.2℃ から 36.2+1.5\times3.2=41.0℃ までである．範囲内の観測値の最小値は 29.3℃，最大値は 38.5℃ なので，ひげの端は 29.3℃ と 38.5℃ になる．27.7℃ は範囲外なので，個別の点で表示される．28.2℃ と 41.0℃ は判定のための境界であり，ひげの端そのものではない．
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(5, 4))
plt.boxplot(august_max, tick_labels=["August"])
plt.ylabel("Maximum temperature (°C)")
plt.ylim(25, 40)
plt.grid(axis="y", alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
plt.boxplot() にデータを渡すと，四分位数などを計算して箱ひげ図を描く．tick_labels は，各グループの名前を指定する引数である．複数のグループを一つの図に並べるには，plt.boxplot([データ1, データ2], tick_labels=["名前1", "名前2"]) のように，データと名前をそれぞれリストにまとめて渡す．
図 7.1 から，中央付近の最高気温は 33.0℃ から 36.2℃ の範囲にあり，27.7℃ の日もあったことがわかる．また，中央値が 35.1℃ なので，8 月の半分以上の日は，最高気温が 35℃ 以上の猛暑日だったこともわかる．
ひげの外の点は，ほかの値から離れた外れ値の候補を示している．点で表示されたという理由だけで，誤った記録と決めたり，削除したりしてはいけない．例えば，最高気温が 27.7℃ だった 8 月 10 日には 25.5 mm の雨が降っており，雨で気温が上がらなかったのかもしれない．
練習 7.1 4 月と 10 月では，最高気温の分布にどのような違いがあるだろうか．daily から，次のように 4 月と 10 月の最高気温を取り出す．
april = daily[daily["month"] == 4]
october = daily[daily["month"] == 10]
april_max = april["temp_max_c"]
october_max = october["temp_max_c"]四分位範囲は，中央付近のデータのばらつきに注目する指標である．次に，すべての観測値と平均値との差を使う分散を学ぼう．
平均値が同じでも，データのばらつきが同じとは限らない．ここでは，各データと平均値との差に注目して，ばらつきを数値で表す方法を考える．
例 7.1 二つの窓口 A，B で，それぞれ 4 人の待ち時間を記録したとする．次の表は，説明のために作成した架空のデータである．単位は分である．
| 利用者 | 窓口 A | 窓口 B |
|---|---|---|
| 1 人目 | 1 | 3 |
| 2 人目 | 1 | 3 |
| 3 人目 | 5 | 3 |
| 4 人目 | 5 | 3 |
平均待ち時間はどちらも 3 分である．しかし，窓口 A では 1 分待った人と 5 分待った人がいるのに対して，窓口 B では全員が 3 分待っている．
平均値からどのくらい離れているかを調べるため，各データから平均値を引く．窓口 A では -2, -2, 2, 2，窓口 B では 0, 0, 0, 0 となる．窓口 A の差をそのまま足すと，正と負が打ち消し合って 0 になる．そこで，差を二乗してから平均する．この値を分散（variance）という．
窓口 A の分散は
\frac{(1-3)^2 + (1-3)^2 + (5-3)^2 + (5-3)^2}{4} = 4
となり，窓口 B の分散は
\frac{(3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2}{4} = 0
となる．元のデータの単位が分なので，分散の単位は分^2 である．窓口 A の分散は 4 分^2，窓口 B の分散は 0 分^2 となる．この 4 人ずつの記録では，窓口 A の待ち時間にはばらつきがあり，窓口 B の待ち時間にはばらつきがない．
n 個のデータ x_1, x_2, \ldots, x_n の平均値を \bar{x} とすると，分散は次の式で計算できる．本書では，分母を n とするこの分散を標本分散と呼び，s_n^2 で表す．
s_n^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
計算の手順は，「平均値を引く」「二乗する」「平均する」の三つである．分散は 0 以上の値を取り，すべての値が同じときに 0 になる．平均値からの離れ方を二乗した値の平均が大きいほど，分散は大きくなる．
例 7.1 では，待ち時間の単位が分であるのに対して，分散の単位は分^2 となった．元のデータと同じ単位でばらつきを表すために，分散の平方根を取る．これを標準偏差（standard deviation）という．
s_n = \sqrt{s_n^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
窓口 A の標準偏差は \sqrt{4}=2 分，窓口 B の標準偏差は \sqrt{0}=0 分である．標準偏差を使うと，待ち時間のばらつきを分という元の単位で表せる．
分散は np.var()，標準偏差は np.std() で計算できる．ここでは，記録した 4 人ずつの待ち時間のばらつきを記述するため，分母を n とする ddof=0 を指定する．ddof を省略した場合も，これらの関数では ddof=0 となる．
a_wait = np.array([1, 1, 5, 5])
b_wait = np.array([3, 3, 3, 3])
a_variance = np.var(a_wait, ddof=0)
b_variance = np.var(b_wait, ddof=0)
a_std = np.std(a_wait, ddof=0)
b_std = np.std(b_wait, ddof=0)
print("窓口 A の分散（分²）:", a_variance)
print("窓口 B の分散（分²）:", b_variance)
print("窓口 A の標準偏差（分）:", a_std)
print("窓口 B の標準偏差（分）:", b_std)窓口 A の分散（分²）: 4.0
窓口 B の分散（分²）: 0.0
窓口 A の標準偏差（分）: 2.0
窓口 B の標準偏差（分）: 0.0練習 7.2 学生10人のテストの点数が以下のように与えられたとする．このデータの不偏分散を Python で計算せよ．
import numpy as np
scores = np.array([70, 80, 90, 100, 60, 75, 85, 95, 65, 55])
# ここにコードを書け練習 7.3 data というリストを引数として受け取り，そのデータの標本分散を計算して返す関数 my_variance() を定義せよ．
import numpy as np
def my_variance(data):
# ここにコードを書く
return variance
data = [1, 2, 3, 4, 5]
variance = my_variance(data)
print("分散:", variance)
print("確認:", np.var(data, ddof=0))