代表値はデータの中心的傾向を示すが，データの散らばりの度合いを表す指標として，分散や標準偏差がある．
n 個のデータ x_1, x_2, \ldots, x_n があるとする．このとき，標本分散（biased sample variance） s_n^2 は以下の式で計算される．
s_n^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
標本分散の計算式を見ると，各データ x_i から平均値 \bar{x} を引いた値の二乗を計算し，その平均を取っていることがわかる．つまり，各データと平均値の差の絶対値 |x_i - \bar{x}| が大きいほど，分散も大きくなる．標本分散はデータのばらつきの度合いを表す指標である．
データから得られた標本を使って母集団の分散を推定する場合，標本分散は母分散よりも系統的に小さくなることが知られている．そのため，不偏分散（unbiased sample variance）で母分散の推定を行うことが一般的である．不偏分散 s^2 は以下の式で計算される．
s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
証明. 不偏分散の分母を n-1 にする手法はベッセルの補正（Bessel’s correction）と呼ばれる．ここでは，\mathbb{E}[s^2] = \sigma^2 となることを示す．読者は飛ばしてもよい．
\begin{align} \mathbb{E}[s^2] &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\right] \\ &= \frac{1}{n-1} \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n} ((X_i - \mu) - (\bar{X} - \mu))^2\right] \\ &= \frac{1}{n-1} \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n} ((X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\bar{X} - \mu) + (\bar{X} - \mu)^2)\right] \\ &= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(X_i - \mu)^2] - 2 \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(X_i - \mu)(\bar{X} - \mu)] + \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(\bar{X} - \mu)^2] \right) \\ &= \frac{1}{n-1} \left( n\sigma^2 - 2n \cdot \frac{\sigma^2}{n} + n \cdot \frac{\sigma^2}{n} \right) \\ &= \frac{1}{n-1} (n\sigma^2 - \sigma^2) \\ &= \sigma^2 \end{align}
分散はデータと平均値の差の二乗を使って計算されるため，元のデータと単位が異なり，理解しづらい．そこで，分散の平方根を取ったものを標準偏差といい，元のデータと同じ単位になる．
標本分散の平方根を取ったものを標本標準偏差（sample standard deviation）といい，s_n で表される．
s_n = \sqrt{s_n^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
不偏標準偏差（unbiased standard deviation）は不偏分散の平方根を取ったもので，s で表される．
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
例 9.1 アンケート調査で，A商品とB商品の満足度を5段階で評価したとする．1 が最も不満，5 が最も満足を表す．下の表は，4人の回答者の評価を示している．
| 回答者 | A商品 | B商品 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 1 | 3 |
| 3 | 5 | 3 |
| 4 | 5 | 3 |
このとき，A商品とB商品の平均値はどちらも 3 である．
A商品の標本分散は
\frac{(1-3)^2 + (1-3)^2 + (5-3)^2 + (5-3)^2}{4} = 4
となり，B商品の標本分散は
\frac{(3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2 + (3-3)^2}{4} = 0
となる．
A商品の標本標準偏差は s_A = \sqrt{4} = 2，B商品の標本標準偏差は s_B = \sqrt{0} = 0 である．
Python で計算する場合，np.var() 関数と np.std() 関数を使うと分散と標準偏差を計算できる．
これらの関数では ddof=1 とすると分母が n-1 となり不偏分散・不偏標準偏差を計算し，ddof=0 とすると分母が n となり標本分散・標本標準偏差を計算する．
import numpy as np
a_ratings = np.array([1, 1, 5, 5])
b_ratings = np.array([3, 3, 3, 3])
a_variance = np.var(a_ratings, ddof=0) # 標本分散
b_variance = np.var(b_ratings, ddof=0) # 標本分散
a_std = np.std(a_ratings, ddof=0) # 標本標準偏差
b_std = np.std(b_ratings, ddof=0) # 標本標準偏差
print("A商品の標本分散:", a_variance)
print("B商品の標本分散:", b_variance)
print("A商品の標本標準偏差:", a_std)
print("B商品の標本標準偏差:", b_std)A商品の標本分散: 4.0
B商品の標本分散: 0.0
A商品の標本標準偏差: 2.0
B商品の標本標準偏差: 0.0この例では，A商品とB商品の平均値は同じであるが，データのばらつきは異なる．A商品の評価は1と5に分かれており，好き嫌いがはっきりしている．一方，B商品の評価は全て3であり，満足度にばらつきがないことがわかる．
練習 9.1 学生10人のテストの点数が以下のように与えられたとする．このデータの不偏分散を python で計算せよ．
import numpy as np
scores = np.array([70, 80, 90, 100, 60, 75, 85, 95, 65, 55])
# ここにコードを書け練習 9.2 my_variance() という関数を定義し，data というリストを引数として受け取り，そのデータの標本分散を計算して返すようにせよ．
import numpy as np
def my_variance(data):
# ここにコードを書く
return variance
data = [1, 2, 3, 4, 5]
variance = my_variance(data)
print("分散:", variance)
print("確認:", np.var(data, ddof=0))