これまでは，代表値やばらつきを使って，一つの変数の特徴を調べてきた．本章では，二つの変数の関係に注目する．
例えば，最高気温が高い日は，最低気温も高いのだろうか．前章と同じ東京の 8 月のデータを使い，まず散布図で関係を見る．その後，共分散と相関係数を使って，関係を数値で表す方法を学ぶ．
チャプター 6 と前章では，2025 年の東京の 8 月の最高気温 31 日分を使った．ここでは，同じ日の最低気温も取り出す．
tokyo_daily.csv をダウンロードし，チャプター 4 と同じ手順で Colab にアップロードする．このファイルは，気象庁の観測データを加工したものである．本章のコードは，上から順に実行する．
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
daily = pd.read_csv("tokyo_daily.csv")
august = daily[daily["month"] == 8]
august[["date", "temp_max_c", "temp_min_c"]].head(7)| date | temp_max_c | temp_min_c | |
|---|---|---|---|
| 212 | 2025-08-01 | 30.1 | 23.8 |
| 213 | 2025-08-02 | 35.1 | 24.9 |
| 214 | 2025-08-03 | 36.1 | 26.2 |
| 215 | 2025-08-04 | 36.1 | 27.7 |
| 216 | 2025-08-05 | 36.6 | 28.3 |
| 217 | 2025-08-06 | 37.0 | 28.1 |
| 218 | 2025-08-07 | 32.8 | 27.3 |
1 行が 1 日を表し，temp_max_c が最高気温，temp_min_c が最低気温である．どちらも単位は℃である．例えば，8 月 1 日は最高気温が 30.1℃，最低気温が 23.8℃ なので，この二つを一組として扱う．
august_max = august["temp_max_c"]
august_min = august["temp_min_c"]二つの変数の関係を調べるには，同じ対象について測った値を組にすることが大切である．ここでは，同じ日の最高気温と最低気温を対応させる．それぞれの列を別々に並べ替え，行の対応を無視して順番だけで組にすると，異なる日の値を比べることになってしまう．
散布図（scatter plot）は，二つの数値変数を横軸と縦軸に取り，一組のデータを一つの点で表すグラフである．
例 8.1 最高気温を横軸，最低気温を縦軸として，8 月の 31 日分を散布図にしてみよう．plt.scatter() の第 1 引数に横軸のデータ，第 2 引数に縦軸のデータを渡す．
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.scatter(august_max, august_min)
plt.xlabel("Maximum temperature (°C)")
plt.ylabel("Minimum temperature (°C)")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
図 8.1 では，点が全体として右上がりに分布している．この 31 日間では，最高気温が高い日ほど，最低気温も高い傾向がある．ただし，点は一直線に並んでいるわけではなく，最高気温が近くても最低気温が異なる日がある．
一方の値が大きいほど，もう一方も大きい傾向を正の相関，一方の値が大きいほど，もう一方が小さい傾向を負の相関という．
| 散布図での見え方 | 関係の読み方 |
|---|---|
| 全体として右上がり | 正の相関がある |
| 全体として右下がり | 負の相関がある |
| 右上がり・右下がりの傾向がはっきりしない | 直線的な関係が弱い可能性がある |
相関は全体の傾向を表すものであり，すべての点がその傾向に従うとは限らない．また，点が曲線状に並ぶこともあるため，直線的な傾向だけでなく，分布の形も確かめよう．
前章の分散では，各データと平均値との差を二乗した．二つの変数の関係を調べるときは，それぞれの平均との差を掛け合わせてみよう．
最高気温を x，最低気温を y とし，それぞれの平均値を \bar{x}，\bar{y} と書く．次のコードで平均値を求めると，最高気温は約 34.4℃，最低気温は約 26.2℃ となる．
mean_max = august_max.mean()
mean_min = august_min.mean()
print("最高気温の平均値（℃）:", round(mean_max, 1))
print("最低気温の平均値（℃）:", round(mean_min, 1))最高気温の平均値（℃）: 34.4
最低気温の平均値（℃）: 26.2両方が平均値より高い日は，差の積 (x-\bar{x})(y-\bar{y}) が正になる．両方が平均値より低い日も，負の数どうしを掛けるので，積は正になる．それに対し，一方が平均値より高く，もう一方が低い日は，積が負になる．
| 最高気温 | 最低気温 | 差の積の符号 |
|---|---|---|
| 平均値より高い | 平均値より高い | 正 |
| 平均値より低い | 平均値より低い | 正 |
| 平均値より高い | 平均値より低い | 負 |
| 平均値より低い | 平均値より高い | 負 |
どちらかの値が平均値と等しいとき，積は 0 になる．散布図に二つの平均値の線を加えると，この符号を確かめられる．
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.scatter(august_max, august_min)
plt.axvline(mean_max, color="gray", linestyle="--")
plt.axhline(mean_min, color="gray", linestyle="--")
plt.text(38.5, 28.6, "+", fontsize=18, ha="center")
plt.text(28.0, 23.6, "+", fontsize=18, ha="center")
plt.text(28.0, 28.6, "−", fontsize=18, ha="center")
plt.text(38.5, 23.6, "−", fontsize=18, ha="center")
plt.xlim(27, 40)
plt.ylim(23, 29.5)
plt.xlabel("Maximum temperature (°C)")
plt.ylabel("Minimum temperature (°C)")
plt.tight_layout()
plt.show()
例えば，8 月 1 日の点 (30.1, 23.8) は左下，8 月 6 日の点 (37.0, 28.1) は右上の領域にある．どちらも差の積は正である．図 8.2 のように，正の積の合計が負の積の絶対値の合計を上回ると，積の平均は正になる．単に点の個数を比べるのではなく，平均値からの離れ方も含めて考えている．
それぞれの平均との差の積を平均した値を，共分散（covariance）という．n 組のデータ (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n) に対し，本章では分母を n とする共分散を s_{xy,n} と書く．前章で扱った，分母が n の標本分散と同じ考え方である．
s_{xy,n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
計算の手順は，「それぞれの平均値を引く」「対応する差を掛ける」「積を平均する」の三つである．
max_deviation = august_max - mean_max
min_deviation = august_min - mean_min
covariance = (max_deviation * min_deviation).mean()
print("共分散（℃²）:", round(covariance, 2))共分散（℃²）: 1.91august_max - mean_max のように，Series から一つの数値を引くと，各要素からその数値が引かれる．+，*，/，** でも同じように要素ごとに計算され，NumPy 配列でも同様である．また，max_deviation * min_deviation では，同じ日の差どうしが掛けられる．
共分散は約 1.91℃^2 となり，正の値である．これは，散布図で見た右上がりの傾向と対応している．分散と異なり，共分散は負になることもある．
ただし，共分散の大きさは単位に依存する．例えば，身長と体重の共分散では，身長を m から cm に直すだけで，身長の平均値も平均との差も 100 倍になり，共分散も 100 倍になる．このため，共分散の値だけでは，異なる単位の変数どうしの関係の強さを比べにくい．
共分散を二つの変数の標準偏差の積で割ると，単位の影響を取り除ける．この値を相関係数（correlation coefficient）という．本章で扱うものは，ピアソンの相関係数とも呼ばれ，二つの変数の直線的な関係の向きと強さを表す．
前章と同様に，分母が n の分散から求めた標準偏差を s_{x,n}，s_{y,n} とすると，相関係数 r は次のようになる．
r=\frac{s_{xy,n}}{s_{x,n}s_{y,n}} =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}
気温の例では，共分散の単位は℃^2，標準偏差の積の単位も℃^2 なので，割り算によって単位がなくなる．
Series の .corr() を使うと，相関係数を直接求められる．一方の Series に対し，もう一方を引数として渡す．
r_august = august_max.corr(august_min)
print("8月の相関係数:", round(r_august, 2))8月の相関係数: 0.66相関係数は約 0.66 である．この 31 日間には，最高気温が高い日ほど最低気温も高いという，正の相関がある．0.66 は，最低気温が最高気温の 66% になるという意味でも，66% の日で両方の気温が高かったという意味でもない．
共分散と標準偏差から計算しても，同じ値になる．
std_max = august_max.std(ddof=0)
std_min = august_min.std(ddof=0)
r_from_covariance = covariance / (std_max * std_min)
print("共分散と標準偏差から計算:", round(r_from_covariance, 2))共分散と標準偏差から計算: 0.66後の章で使う NumPy の np.corrcoef(x, y)[0, 1] でも，同じ相関係数を求められる．np.corrcoef() は二つの変数の相関を表にした 2 行 2 列の配列を返し，[0, 1] で 1 行目・2 列目の値を取り出す．
import numpy as np
print("NumPyで確認:", round(np.corrcoef(august_max, august_min)[0, 1], 2))NumPyで確認: 0.66相関係数は -1\le r\le1 の範囲の値を取る．符号が関係の向き，絶対値が直線的な関係の強さを表す．
| 相関係数 | 読み方 |
|---|---|
| r が 1 に近い | 強い正の相関がある |
| r が -1 に近い | 強い負の相関がある |
| r が 0 に近い | 直線的な関係が弱い |
例えば，r=-0.9 は r=0.3 より直線的な関係が強い．負だから弱いというわけではない．また，r=1 ならすべての点が右上がりの直線上に，r=-1 なら右下がりの直線上に並ぶ．ただし，どちらかの変数の値がすべて同じ場合は，標準偏差が 0 になるため，相関係数を定義できない．
次の図は，説明のために作成した三つのデータである．左と中央では点が一直線に並んでいる．右では，y=x^2 という関係がある．
x_example = pd.Series([-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3])
y_examples = [x_example, -x_example, x_example ** 2]
titles = ["y = x", "y = -x", "y = x²"]
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(10, 3))
for ax, y_example, title in zip(axes, y_examples, titles):
r = x_example.corr(y_example)
ax.scatter(x_example, y_example)
ax.set_title(f"{title} (r = {r:.2f})")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
図 8.3 の右の図は，相関係数が 0 でも，二つの変数の間に関係がある例である．相関係数は直線的な関係を表すため，曲線状の関係を十分に捉えられない．また，少数の極端な点に影響されることもある．相関係数と散布図を合わせて確認しよう．
二つの変数に相関があっても，一方が他方の原因であるとは限らない．例えば，暑い日ほどアイスクリームも冷たい飲み物もよく売れるとしよう．両方の売上に正の相関があっても，それだけで「アイスクリームが売れるから，冷たい飲み物も売れる」とはいえない．気温という別の要因が，両方に関係している可能性がある．
同じように，最高気温と最低気温に正の相関があることだけから，一方が他方を高くするとは結論できない．相関係数では横軸と縦軸を入れ替えても値は同じであり，原因と結果の向きはわからない．原因を考えるには，ほかの要因や時間の前後関係，データを集めた方法も調べる必要がある．
練習 8.1 (9 月の気温の関係を調べる) daily から，9 月の最高気温と最低気温を取り出す．
september = daily[daily["month"] == 9]
september_max = september["temp_max_c"]
september_min = september["temp_min_c"]練習 8.2 (アヤメの大きさを調べる) 次のコードは，アヤメの一種である setosa のデータを読み込む．1 行が一つの花を表す．setosa_sepal_length はがく片の長さ，setosa_sepal_width はがく片の幅であり，単位はどちらも cm である．
from sklearn.datasets import load_iris
iris = load_iris(as_frame=True)
setosa = iris.data[iris.target == 0]
setosa_sepal_length = setosa["sepal length (cm)"]
setosa_sepal_width = setosa["sepal width (cm)"]練習 8.3 (相関係数を自分で計算する（発展）) 同じ長さの二つの NumPy 配列 x，y を受け取り，相関係数を返す関数 my_corrcoef() を定義せよ．それぞれの配列には 2 個以上の数値があり，欠損値はなく，どちらもすべて同じ値ではないものとする．
np.sqrt() で求められる．def my_corrcoef(x, y):
# ここにコードを書く
return r
x = np.array([-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3])y = x，y = -x，y = x ** 2 の三つの場合を調べ，np.corrcoef(x, y)[0, 1] と結果が一致することを確かめよ．
.corr() で求められる．ここまでで，データを読み込み，グラフと数値で特徴を調べる方法を学んだ．次章からは，これらを組み合わせて実際の問いを考える．気温とさくらの開花日の関係は，チャプター 10 で分析する．