5 関数

5.1 関数の定義

\(A\) と \(B\) を集合とするとき，関数 \(f\) は，\(A\) の各要素に対して \(B\) の要素を対応させる規則であり， \[ f: A \to B \]

と書く．

Example 5.1 \(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{4, 5, 6\}\) とするとき，\(f(1) = 4\), \(f(2) = 5\), \(f(3) = 6\) と定義される関数 \(f: A \to B\) がある．

\(f(x)\) という記号は，入力 \(x\) に対して関数 \(f\) が出力する値を表す．\(y = f(x)\) と書くとき，入力 \(x\) に対して，関数 \(f\) が出力する値 \(y\) を決定する．\(x \mapsto y\) と書くこともある．

Example 5.2 \(f(x) = 2x + 1\) とう関数を Python で定義するには，次のようにする．

def f(x):
    return 2 * x + 1

f(3)

この関数に \(x = 3\) を入力すると，\(f(3) = 7\) となる．

Note

Python では，def キーワードを使って関数を定義する．: と字下げに注意すること．

関数は複数の引数（arguments）を持つこともできる．例えば，\(f(x, y) = x + y\) という関数は，2つの引数 \(x\) と \(y\) を持ち，その和を出力する．

Example 5.3 \(f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1 + 2x_2 + x_3\) という関数を Python で定義するには，次のようにする．

def f(x1, x2, x3):
    return 3 * x1 + 2 * x2 + x3


f(1, 1, 1)

\(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 1\) のとき，\(f(1, 1, 1) = 6\) となる．

関数が区分的に定義されることもある．

Example 5.4 次のような関数を考える．

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases} \]

この関数は，\(x\) が0以上のときは \(x^2\) を出力し，\(x\) が0未満のときは \(-x\) を出力する．Python で定義するには，次のようにする．

def f(x):
    if x >= 0:
        return x ** 2
    else:
        return -x

print(f(3))
print(f(-3))

9
3

\(f(3) = 9\) であり，\(f(-3) = 3\) である．

数学でよく使われる関数には，次のようなものがある．

\(|x|\) は，\(x\) の絶対値を表す関数である．

Python では，abs() 関数を使う．

abs(-3)

\(e^x\) は，ネイピア数 \(e\) を底とする指数関数である．

Python では，math.exp() 関数を使う．

import math

math.exp(1)

2.718281828459045

床関数 \(\lfloor x \rfloor\) は，\(x\) 以下の最大の整数を返す関数である．天井関数 \(\lceil x \rceil\) は，\(x\) 以上の最小の整数を返す関数である．英語では，floor と ceiling と呼ばれる．

Python では，math.floor() 関数と math.ceil() 関数を使う．

import math

math.floor(3.7)

import math

math.ceil(3.3)

Exercise 5.1 if 文を使って，\(|x|\) を計算する関数 abs_val(x) を定義せよ．

Exercise 5.2 床関数と天井関数を計算する関数 floor_val(x) と ceil_val(x) を定義せよ．ただし，math モジュールを使わないこと．

HINT: int(x) は，x を整数に変換する関数である．

Exercise 5.3 次の関数を Python で定義せよ．

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases} \]

Exercise 5.4 次の関数を Python で定義せよ．

\[ f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x - y} \]