操作記述#
Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
—John von Neumann
学習目標#
和両立を理解し，与えられたリレーションが和両立か判定できる．
リレーション代数の基本演算を理解し，計算できる．
与えられたリレーションに対して，目的に応じた演算を適用できる．
リレーショナル代数#
リレーショナル代数（relational algebra）はエドガー・F・コッドによって提案された，リレーションとして表現されたデータを操作するための代数的な演算の体系である．それを実装したデータベース言語はSQLである．
リレーション代数は次の基本演算から構成される．
和集合演算
差集合演算
共通集合演算
直積演算
射影演算
選択演算
結合演算
商演算
和両立#
Definition
リレーション\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)とリレーション\(S(B_1, B_2, \ldots, B_m)\)が和両立（union compatible）とは，次の二つの条件を満たすことである．
\(n = m\)．
\(\text{dom}(A_i) = \text{dom}(B_i)\)であり，\(1 \leq i \leq n\)．
Example
ある大学の学生データベースには，2024年度入学生のデータを格納するリレーション学生2024と，2025年度入学生のデータを格納するリレーション学生2025がある．
学生2024(学籍番号, 氏名, 学科)
学生2025(学籍番号, 氏名, 学科)
学生2024と学生2025の次数は共に3であり，それぞれの属性の定義域は共通であるため，これらは和両立である．
Example
A社とB社の社員を表すリレーションA社の社員とB社の社員がある．A社の社員が事務部と営業部のどちらかに所属するのに対し，B社の社員が開発部と研究部のどちらかに所属するとする．
A社の社員(社員番号, 氏名, 部署)
B社の社員(社員番号, 氏名, 部署)
A社とB社の部署の定義域は異なるため，これらは和両立ではない．
和集合演算#
Definition
\(R\)と\(S\)を和両立なリレーションとするとき，\(R\)と\(S\)の和集合は，\(R \cup S\)で書く．その定義は次の通りである．
\(R\)と\(S\)の和集合は，\(R\)または\(S\)に属するタプル全体の集合である．
Example
ある大学は工学部と理学部を持っており，それぞれの学生を表すリレーション工学部学生と理学部学生がある．
工学部学生(学籍番号, 氏名, 学科)
理学部学生(学籍番号, 氏名, 学科)
工学部学生と理学部学生の和集合は，その大学の全学生を表すリレーションである．
Example
ある大学のプログラミングとデータベースの授業を受講する学生を表すリレーションプログラミングとデータベースがある．
プログラミング(学籍番号, 氏名, 学科)
学籍番号 |
氏名 |
学科 |
|---|---|---|
202464 |
田中花子 |
機械工学科 |
202487 |
山田太郎 |
機械工学科 |
… |
… |
… |
データベース(学籍番号, 氏名, 学科)
学籍番号 |
氏名 |
学科 |
|---|---|---|
202464 |
田中花子 |
機械工学科 |
202490 |
佐藤次郎 |
情報工学科 |
… |
… |
… |
プログラミングとデータベースの和集合は，プログラミングまたはデータベースの授業を受講する学生を表すリレーションである．
学籍番号 |
氏名 |
学科 |
|---|---|---|
202464 |
田中花子 |
機械工学科 |
202487 |
山田太郎 |
機械工学科 |
202490 |
佐藤次郎 |
情報工学科 |
… |
… |
… |
集合は異なる元の集まりであるため，重複するタプルは除かれる．
差集合演算#
Definition
\(R\)と\(S\)を和両立なリレーションとするとき，\(R\)と\(S\)の差集合は，\(R - S\)で書く．その定義は次の通りである．
\(R\)と\(S\)の差集合は，\(R\)に属し，\(S\)に属さないタプル全体の集合である．
Example
プログラミング(学籍番号, 氏名, 学科)
データベース(学籍番号, 氏名, 学科)
プログラミングとデータベースの差集合は，プログラミングの授業を受講するがデータベースの授業を受講していない学生を表すリレーションである．
共通集合演算#
Definition
\(R\)と\(S\)を和両立なリレーションとするとき，\(R\)と\(S\)の共通集合は，\(R \cap S\)で書く．その定義は次の通りである．
\(R\)と\(S\)の共通集合は，\(R\)にも属し，\(S\)にも属するタプル全体の集合である．
Example
プログラミング(学籍番号, 氏名, 学科)
データベース(学籍番号, 氏名, 学科)
プログラミングとデータベースの共通集合は，プログラミングの授業とデータベースの授業の両方を受講する学生を表すリレーションである．
直積演算#
Definition
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)と\(S(B_1, B_2, \ldots, B_m)\)をリレーションとするとき，\(R\)と\(S\)の直積は，\(R \times S\)で書く．その定義は次の通りである．
\(R\)と\(S\)の直積は，\(R\)のタプルと\(S\)のタプルの全ての組み合わせの集合である．
Note
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)と\(S(B_1, B_2, \ldots, B_m)\)をリレーションとするとき，\(R\)と\(S\)の直積\(R \times S\)の属性名は\(R.A_i\)と\(S.B_i\)で表す．
Example
商品（商品番号，商品名）
商品番号 |
商品名 |
|---|---|
1 |
りんご |
2 |
みかん |
店舗（店舗番号，店舗名）
店舗番号 |
店舗名 |
|---|---|
A |
A店 |
B |
B店 |
商品と店舗の直積は，商品と店舗の全ての組み合わせを表すリレーションである．
商品.商品番号 |
商品.商品名 |
店舗.店舗番号 |
店舗.店舗名 |
|---|---|---|---|
1 |
りんご |
A |
A店 |
1 |
りんご |
B |
B店 |
2 |
みかん |
A |
A店 |
2 |
みかん |
B |
B店 |
射影演算#
Definition
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)をリレーション，\(R\)の全属性集合を\(\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}\)の部分集合を\(X=\{A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_m}\}\)，ここに\(1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_m \leq n\)とする．\(R\)の\(X\)上の射影を\(R[X]\)で表す．その定義は次の通りである．
ここに，\(t=(a_1, a_2, \ldots, a_n) \in R\)とするとき，\(t[X]=(a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots, a_{i_m})\)である．
Example
商品（商品番号，商品名，価格）
商品番号 |
商品名 |
価格 |
|---|---|---|
1 |
りんご |
100 |
2 |
みかん |
80 |
商品の商品番号と商品名の射影は，商品番号と商品名のみを抽出したリレーションである．
商品番号 |
商品名 |
|---|---|
1 |
りんご |
2 |
みかん |
選択演算#
Definition
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)をリレーション，\(A_i\)と\(A_j\)を\(\theta\)-比較可能な属性とする．ここに，\(\theta\)は比較演算子（\(=, \neq, <, \leq, >, \geq\)）である．\(R\)の\(A_i\)と\(A_j\)上の\(\theta\)-選択を\(R\left[A_i \theta A_j\right]\)で表す．その定義は次の通りである．
ここに，\(A_i\)と\(A_j\)が\(\theta\)-比較可能とは，次の2つの条件を満たすことである．
\(\text{dom}(A_i) = \text{dom}(A_j)\)
\(t[A_i] \theta t[A_j]\)の真か偽が定義されている
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)の属性\(A_i\)と\(c\)に関する\(\theta\)-選択を\(R\left[A_i \theta c\right]\)で表す．
Example
商品（商品番号，商品名，価格）
商品番号 |
商品名 |
価格 |
|---|---|---|
1 |
りんご |
100 |
2 |
みかん |
80 |
商品の価格が100円以上の商品を抽出するための選択演算は，次のようになる．
商品番号 |
商品名 |
価格 |
|---|---|---|
1 |
りんご |
100 |
結合演算#
Definition
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)と\(S(B_1, B_2, \ldots, B_m)\)をリレーション，\(A_i\)と\(B_j\)を\(\theta\)-比較可能とする．\(R\)と\(S\)の\(A_i\)と\(B_j\)上の\(\theta\)-結合を\(R \left[A_i \theta B_j\right] S\)で表す．その定義は次の通りである．
Example
社員（社員番号，社員名，部署）
社員番号 |
氏名 |
部署 |
|---|---|---|
1 |
田中 |
E1 |
2 |
山田 |
K2 |
3 |
佐藤 |
E1 |
部署（部署番号，部署名）
部署番号 |
部署名 |
|---|---|
E1 |
営業 |
K4 |
開発 |
\(\text{社員}\left[\text{部署} = \text{部署番号}\right] \text{部署}\)の結果は，次のようになる．
社員.社員番号 |
社員.氏名 |
社員.部署 |
部署.部署番号 |
部署.部署名 |
|---|---|---|---|---|
1 |
田中 |
E1 |
E1 |
営業 |
2 |
山田 |
K2 |
K2 |
開発 |
3 |
佐藤 |
E1 |
E1 |
営業 |
商演算#
Definition
\(R(A_1, A_2, \ldots, A_{n-m}, B_1, B_2, \ldots, B_m)\)を\(n\)次，\(S(B_1, B_2, \ldots, B_m)\)を\(m\)次（\(n \geq m\)）のリレーションとする．\(R\)を\(S\)で割った商を\(R \div S\)で表す．その定義は次の通りである．
Example
学生 テーブル
学籍番号 |
氏名 |
|---|---|
202401 |
山田太郎 |
202402 |
田中花子 |
202403 |
佐藤次郎 |
202404 |
鈴木一郎 |
履修 テーブル
学籍番号 |
科目 |
|---|---|
202401 |
プログラミング |
202401 |
データベース |
202402 |
データベース |
202402 |
ゲーム理論 |
202403 |
プログラミング |
202403 |
データベース |
プログラミングとデータベースの両方を履修している学生を検索することを考える．このとき，科目テーブルを次のようになる．
科目
科目 |
|---|
プログラミング |
データベース |
このとき，履修 ÷ 科目 の結果は，次のようになる．
学籍番号 |
|---|
202401 |
202403 |
リレーショナル代数表現#
実リレーション（base relation）はデータベースに実際に格納されているリレーションである．リレーション演算から得られた結果もリレーションである．そのようなリレーションを導出リレーション（derived relation）と呼ぶ．
Definition
リレーショナル代数表現（Relational Algebra Expression）
リレーショナルデータベースの実リレーション\(R\)は表現である．
\(R\)と\(S\)を表現とするとき，\(R\)と\(S\)が和両立であるなら，\(R \cup S\)，\(R - S\)，\(R \cap S\)は表現である．
\(R\)と\(S\)を表現とするとき，\(R \times S\)は表現である．
\(R\)を表現とするとき，\(R[X]\)は表現である．
\(R\)を表現とするとき，\(R\left[A_i \theta A_j\right]\)，\(R\left[A_i \theta c\right]\)は表現である．
\(R\)と\(S\)を表現とするとき，\(R \left[A_i \theta B_j\right] S\)は表現である．
\(R\)と\(S\)を表現とするとき，\(R \div S\)は表現である．
以上の定義によって得られた表現のみがリレーショナル代数表現である．
演習#
リレーション学生（学籍番号，学生名，学部），内定（学籍番号，法人番号，職種），会社（法人番号，会社名，所在地）があるとする．
問１ すべての学生の全データを求めよ．
学生
問２ 理工学部の学生の全データを求めよ．
学生[学部 = ‘理工’]
問３ 内定先を決まっている学生の学籍番号を求めよ．
内定[‘学籍番号’]
問４ 内定先を決まっていない理工学部の学生の学籍番号を求めよ．
学生[学部 = ‘理工’][‘学籍番号’] - 内定[‘学籍番号’]
問５ 理工学部の学生の内定先の法人番号を求めよ．
((学生[‘学籍番号’ = ‘学籍番号’]内定)[学生.学部 = ‘理工’])[内定.法人番号]
問６ 法人番号が’0001’の会社の内定を受けた学生の学籍番号と学生名を求めよ．
((学生[‘学籍番号’ = ‘学籍番号’]内定)[内定.法人番号 = ‘0001’])[学生.学籍番号, 学生.学生名]
練習問題#
自由に設定したテーマに基づいてリレーショナルデータベースのスキーマを定義し、それを用いてすべての基本的なリレーショナル代数演算を含む例題を作成し、その解答を示しなさい。