2 集合

集合（Set）とは，「ものの集まり」のことである．集合は，普通 A，B，C などの大文字のアルファベットで表される．集合を構成している一つ一つのものを要素または元（element）という．

元を一つも持たない集合を空集合（empty set）といい，記号 \emptyset で表す．

無限の元を持つ集合は無限集合，有限の元を持つ集合は有限集合と呼ばれる．

議論するすべての元があるひとつの集合に属する場合，その集合を全体集合（universal set）という．

2.1 帰属関係

対象 x が集合 S の元であることを

x \in S

と書き，「x が S に属する」，「x is an element of S」などと読む．x が S の元でないことを

x \notin S

と書く．

2.2 記法

2.2.1 外延的記法

外延的記法（roster notation）では，集合のすべての要素を列挙する．例えば，10 より小さい正の奇数全体の集合は \{1, 3, 5, 7, 9\}，四季の集合は \{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\} と表される．

集合が多くの要素を持つ場合は，省略記号（\ldots）を使って表すことができる．例えば，1 から 100 までの自然数全体の集合は \{1, 2, 3, \ldots, 100\}，自然数全体の集合 \mathbb{N} は \{1, 2, 3, \ldots\} と表される．

2.2.2 内包的記法

内包的記法（set-builder notation）では，集合の要素が満たす条件を用いて集合を定義する．P(x) を条件とし，P(x) を満たすx全体の集合を \{x \mid P(x)\} と表す．

例えば，[0, 1] の区間に含まれる実数全体の集合は \{x \mid 0 \leq x \leq 1\}，5 以上 10 未満の整数全体の集合は \{x \in \mathbb{Z} \mid 5 \leq x < 10\} と表される．

2.3 特別な集合

\mathbb{Z}：整数全体の集合
\mathbb{N}：自然数全体の集合
\mathbb{Q}：有理数全体の集合
\mathbb{R}：実数全体の集合
\mathbb{R}^+：正の実数全体の集合

2.4 集合の包含関係

部分集合（Subset）：集合 A のすべての元が集合 B の元であるとき，A \subseteq B と表す．AはBの部分集合であるという．
相等（Equality）：集合 A と B が同じ元から構成されているとき，A = B と表す．すなわち，A \subseteq B かつ B \subseteq A が成り立つ．
真部分集合（Proper subset）：A \subseteq B かつ A \neq B のとき，A \subset B と表す．

2.5 順序組

順序組（Tuple，タプル）は，複数の対象を順序を持って並べたものである．n 個の対象を並べた順序組を n-組（n-tuple）という．

(a_1, a_2, \ldots, a_n)，(b_1, b_2, \ldots, b_n) を二つの n -組とするとき，

(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n)

であるためには，a_1 = b_1，a_2 = b_2，\ldots，a_n = b_n でないといけない．例えば，(1, 2) \neq (2, 1) である．

2-組を特に順序対（ordered pair）という．例えば，a，b を二つの対象とするとき，a，b の順序対（ordered pair）は (a, b) で表される．

2.6 集合算

2.6.1 和集合（Union）

A，B を二つの集合とするとき，

A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\}

をAとBの和集合という．

2.6.2 共通部分（Intersection）：

A，B を二つの集合とするとき，

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}

を A と B の共通部分という．

2.6.3 差集合（Difference）

A，B を二つの集合とするとき，

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B\}

を A と B の差集合という．A - B と書くこともある．

2.6.4 補集合（Complement）

\Omega を全体集合とするとき，集合 A の補集合は \Omega \setminus A である．A^c または \bar{A} と書くこともある．

2.6.5 直積（Cartesian product）

A，B を二つの集合とするとき，A と B の直積は

A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}

である．

例 2.1 \{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} を求めよ．

\{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\}

2.6.6 冪乗集合（Power set）

A を集合とするとき，A のすべての部分集合からなる集合を A の冪乗集合といい，記号 \mathcal{P}(A) や 2^A で表す．

例 2.2 A = \{1, 2\} のとき，\mathcal{P}(A) を求めよ．

\mathcal{P}(A) = 2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

2.7 演習問題

タップル (1, 2) は (2, 1) は等しいであるか？その理由を説明しなさい．
\{1, 2, 2\} は集合であるか？その理由を説明しなさい．
\Omega = \{1, 2, 3\}, A = \{1, 2\} の時，A の補集合 A^c を求めなさい．
A = \{1, 2, 3\}, B = \{2, 3, 4\} の時，A と B の差集合 A - B を求めなさい．
A = \{1, 2, 3\} の時，A の冪乗集合 \mathcal{P}(A) を求めなさい．
A = \{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\}, B = \{\text{花見}, \text{スキー}\} の時，A と B の直積 A \times B を求めなさい．