2 集合

集合（Set）とは、「ものの集まり」のことである．集合は，普通 \(A\)，\(B\)，\(C\) などの大文字のアルファベットで表される．集合を構成している一つ一つのものを要素または元（element）という．

元を一つも持たない集合を空集合（empty set）といい，記号 \(\emptyset\) で表す．

無限の元を持つ集合は無限集合，有限の元を持つ集合は有限集合と呼ばれる．

議論するすべての元があるひとつの集合に属する場合，その集合を全体集合（universal set）という．

2.1 帰属関係

対象 \(x\) が集合 \(S\) の元であることを

\[ x \in S \]

と書き，「\(x\) が \(S\) に属する」，「\(x\) is an element of \(S\)」などと読む．\(x\) が \(S\) の元でないことを

\[ x \notin S \]

と書く．

2.2 記法

2.2.1 外延的記法

外延的記法（roster notation）では，集合のすべての要素を列挙する．例えば，\(10\) より小さい正の奇数全体の集合は \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\)，四季の集合は \(\{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\}\) と表される．

集合が多くの要素を持つ場合は，省略記号（\(\ldots\)）を使って表すことができる．例えば，\(1\) から \(100\) までの自然数全体の集合は \(\{1, 2, 3, \ldots, 100\}\)，自然数全体の集合 \(\mathbb{N}\) は \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) と表される．

2.2.2 内包的記法

内包的記法（set-builder notation）では，集合の要素が満たす条件を用いて集合を定義する．\(P(x)\) を条件とし，\(P(x)\) を満たす\(x\)全体の集合を \(\{x \mid P(x)\}\) と表す．

例えば，\([0, 1]\) の区間に含まれる実数全体の集合は \(\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}\)，\(5\) 以上 \(10\) 未満の整数全体の集合は \(\{x \in \mathbb{Z} \mid 5 \leq x < 10\}\) と表される．

2.3 特別な集合

\(\mathbb{Z}\)：整数全体の集合
\(\mathbb{N}\)：自然数全体の集合
\(\mathbb{Q}\)：有理数全体の集合
\(\mathbb{R}\)：実数全体の集合
\(\mathbb{R}^+\)：正の実数全体の集合

2.4 集合の包含関係

部分集合（Subset）：集合 \(A\) のすべての元が集合 \(B\) の元であるとき，\(A \subseteq B\) と表す．\(A\)は\(B\)の部分集合であるという．
相等（Equality）：集合 \(A\) と \(B\) が同じ元から構成されているとき，\(A = B\) と表す．すなわち，\(A \subseteq B\) かつ \(B \subseteq A\) が成り立つ．
真部分集合（Proper subset）：\(A \subseteq B\) かつ \(A \neq B\) のとき，\(A \subset B\) と表す．

2.5 順序組

順序組（Tuple，タプル）は，複数の対象を順序を持って並べたものである．\(n\) 個の対象を並べた順序組を \(n\)-組（\(n\)-tuple）という．

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)\)，\((b_1, b_2, \ldots, b_n)\) を二つの \(n\) -組とするとき，

\[ (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \]

であるためには，\(a_1 = b_1\)，\(a_2 = b_2\)，\(\ldots\)，\(a_n = b_n\) でないといけない．例えば，\((1, 2) \neq (2, 1)\) である．

\(2\)-組を特に順序対（ordered pair）という．例えば，\(a\)，\(b\) を二つの対象とするとき，\(a\)，\(b\) の順序対（ordered pair）は \((a, b)\) で表される．

2.6 集合算

2.6.1 和集合（Union）

\(A\)，\(B\) を二つの集合とするとき，

\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\} \]

を\(A\)と\(B\)の和集合という．

2.6.2 共通部分（Intersection）：

\(A\)，\(B\) を二つの集合とするとき，

\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\} \]

を \(A\) と \(B\) の共通部分という．

2.6.3 差集合（Difference）

\(A\)，\(B\) を二つの集合とするとき，

\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B\} \]

を \(A\) と \(B\) の差集合という．\(A - B\) と書くこともある．

2.6.4 補集合（Complement）

\(\Omega\) を全体集合とするとき，集合 \(A\) の補集合は \(\Omega \setminus A\) である．\(A^c\) または \(\bar{A}\) と書くこともある．

2.6.5 直積（Cartesian product）

\(A\)，\(B\) を二つの集合とするとき，\(A\) と \(B\) の直積は

\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} \]

である．

例 2.1 \(\{1, 2\} \times \{3, 4, 5\}\) を求めよ．

\[ \{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\} \]

2.6.6 冪乗集合（Power set）

\(A\) を集合とするとき，\(A\) のすべての部分集合からなる集合を \(A\) の冪乗集合といい，記号 \(\mathcal{P}(A)\) や \(2^A\) で表す．

例 2.2 \(A = \{1, 2\}\) のとき，\(\mathcal{P}(A)\) を求めよ．

\[ \mathcal{P}(A) = 2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} \]

2.7 演習問題

タップル \((1, 2)\) は \((2, 1)\) は等しいであるか？その理由を説明しなさい．
\(\{1, 2, 2\}\) は集合であるか？その理由を説明しなさい．
\(\Omega = \{1, 2, 3\}\), \(A = \{1, 2\}\) の時，\(A\) の補集合 \(A^c\) を求めなさい．
\(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{2, 3, 4\}\) の時，\(A\) と \(B\) の差集合 \(A - B\) を求めなさい．
\(A = \{1, 2, 3\}\) の時，\(A\) の冪乗集合 \(\mathcal{P}(A)\) を求めなさい．
\(A = \{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\}\), \(B = \{\text{花見}, \text{スキー}\}\) の時，\(A\) と \(B\) の直積 \(A \times B\) を求めなさい．