ゲート

これまではコンピューターにおいて重要な記数法である2進数について学んだ。そして、0と1のビットを使って、数値や文字などのデータを表現する方法についても触れた。

ここでは、2進数の計算を行うための装置であるゲートについて学ぶ。

学習の目標は次の通りである：

• 真理値表，論理式、記号を使って基本的な論理ゲートを理解する

• AND，OR，NOT，XOR，NAND，NORゲートの動作を理解する

ブール演算¶

ビットは一般的に0または1と表現されるが，FalseまたはTrueという真理値としての表現もよく使われる．

このような真理値（0と1）を扱うための数学的な体系をブール代数（Boolean algebra）と呼ぶ．ブール代数は，イギリスの数学者ジョージ・ブール（George Boole）によって考案された．ブール演算は，AND，OR，NOT，XORなどの論理演算子を使って真偽値を操作する．

ゲート¶

コンピューターでは，ゲート（gate，論理ゲート，logic gate）と呼ばれる装置を使ってブール演算を実行する．ゲートは，一つまたは複数の入力信号を受け取り，それらの信号を処理して出力信号を生成する．

ここでは，以下の基本的な論理ゲートを紹介する．

• OR

• AND

• NOT

• XOR

• NAND

• NOR

これらのゲートをの紹介には，論理式，真理値表，記号を使う．

• 論理式（Boolean expressions）は，数学記号を使って，数式で真理値の演算を表現する．

• 真理値表（truth table）は，ゲートのすべての入力組み合わせに対して，出力の真理値を示す表である．

• 記号（MIL symbols）は，論理ゲートを図で表現するための記号である．CircuitVerseという論理回路のシミュレータを使って、ゲートの動作を視覚的に確認することもできる。

ORゲート¶

$A$と$B$を真理値とするとき，$A$と$B$の論理和（logical disjunction）は，$A \lor B$と書く．

$A$と$B$の少なくとも一方が1のとき，$A \lor B = 1$となる．

論理和の真理値表は以下の通りである．

論理和の演算を行うORゲートは次の記号で表現される．

ANDゲート¶

$A$と$B$を真理値とするとき，$A$と$B$の論理積（logical conjunction）は，$A \land B$と書く．

$A$と$B$の両方が1のとき，$A \land B = 1$となる．

論理積の真理値表は以下の通りである．

論理積の演算を行うANDゲートは次の記号で表現される．

NOTゲート¶

$A$を真理値とするとき，$A$の否定（logical negation）は，$\lnot p$と書く．

$A$が1のとき，$\lnot A = 0$となり，$A$が0のとき，$\lnot A = 1$となる．

否定の真理値表は以下の通りである．

否定の演算を行うNOTゲートは次の記号で表現される．

XORゲート¶

$A$と$B$を真理値とするとき，$A$と$B$の排他的論理和（exclusive or）は，$A \oplus B$と書く．

$A$と$B$のうち一方だけが1のとき，$A \oplus B = 1$となる．

排他的論理和の真理値表は以下の通りである．

排他的論理和の演算を行うXORゲートは次の記号で表現される．

NANDゲート¶

$A$と$B$を真理値とするとき、$A$と$B$の否定論理積は、$A \uparrow B$と書書く。NANDはNot ANDの略で、ANDゲートの出力を否定したものである。

否定論理積の真理値表は以下の通りである。

否定論理積の演算を行うNANDゲートは次の記号で表現される。

NORゲート¶

$A$と$B$を真理値とするとき、$A$と$B$の否定論理和は、$A \downarrow B$と書く。NORはNot ORの略で、ORゲートの出力を否定したものである。

否定論理和の真理値表は以下の通りである。

否定論理和の演算を行うNORゲートは次の記号で表現される。

まとめ¶

• ANDゲートは、両方の入力が1のときに出力が1になる。

• ORゲートは、少なくとも一方の入力が1のときに出力が1になる。

• NOTゲートは、入力が1のときに出力が0になり、入力が0のときに出力が1になる。

• XORゲートは、入力のうち一方だけが1のときに出力が1になる。

• NANDゲートは、ANDゲートの出力を否定したもので、両方の入力が1のときに出力が0になる。

• NORゲートは、ORゲートの出力を否定したもので、両方の入力が0のときに出力が1になる。

プログラミング言語での論理演算¶

C言語では、真理値は整数型で表現され、0は偽（False）、1は真（True）として扱われる。

以下のC言語のコードは，2 > 1が真であり、1を出力する．2 < 1が偽であり、0を出力する．

#include <stdio.h>

int main() {  
  printf("%d\n", 2 > 1); // 1
  printf("%d\n", 2 < 1); // 0
  return 0;
}

Pythonでは，TrueとFalseを使って真理値を表現する．

以下のPythonのコードは、2 > 1が真であり、Trueを出力する．2 < 1が偽であり、Falseを出力する．

print(2 > 1)  # True
print(2 < 1)  # False

C言語では、論理和の演算は||演算子を使って表現される．例えば、A || Bは、$A$または$B$のいずれかが真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A OR B = %d\n", A || B); // 出力: 1
    return 0;
}

C言語では、論理積の演算は&&演算子を使って表現される．例えば、A && Bは、$A$と$B$の両方が真である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    int B = 0; // 偽
    printf("A AND B = %d\n", A && B); // 出力: 0
    return 0;
}

C言語では、否定の演算は!演算子を使って表現される．例えば、!Aは、$A$が真である場合に偽を返し、$A$が偽である場合に真を返す．

#include <stdio.h>
int main() {
    int A = 1; // 真
    printf("NOT A = %d\n", !A); // 出力: 0
    return 0;
}

やってみよう¶

ユーザーから2つの真理値（0または1）を入力として受け取り、AND、OR、NOT、XORの演算結果を表示するC言語のプログラムを作成してみよう。

作成したプログラムを実行すると、次のような出力が得られる。Enter AとEnter Bの後に、0または1を入力することができる。

Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.
Enter A: __1__
Enter B: __0__
A = 1, B = 0

*** Logical Operations ***
A AND B = 0
A OR B = 1
NOT A = 0
A XOR B = 1

解答例¶

#include <stdio.h>

int main() {
    int A, B;
    printf("Please enter A and B, where A and B are either 0 or 1.\n");
    printf("Enter A: ");
    scanf("%d", &A);
    printf("Enter B: ");
    scanf("%d", &B);
    printf("A = %d, B = %d\n", A, B);

    printf("*** Logical Operations ***\n");
    printf("A AND B = %d\n", A && B);
    printf("A OR B = %d\n", A || B);
    printf("NOT A = %d\n", !A);
    printf("A XOR B = %d\n", A ^ B);
    return 0;
}