集合

集合（Set）とは、「ものの集まり」のことである．集合は，普通$A$，$B$，$C$などの大文字のアルファベットで表される．集合を構成している一つ一つのものを要素または元（element）という．

元を一つも持たない集合を空集合（empty set）といい，記号$\emptyset$で表す．

無限の元を持つ集合は無限集合，有限の元を持つ集合は有限集合と呼ばれる．

議論するすべての元があるひとつの集合に属する場合，その集合を全体集合（universal set）という．

帰属関係¶

対象$x$が集合$S$の元であることを

と書き，「$x$が$S$に属する」，「$x$ is an element of $S$」などと読む．$x$が$S$の元でないことを

と書く．

記法¶

外延的記法¶

外延的記法（roster notation）では，集合のすべての要素を列挙する．例えば，10より小さい正の奇数全体の集合は$\{1, 3, 5, 7, 9\}$，四季の集合は$\{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\}$と表される．

集合が多くの要素を持つ場合は，省略記号（$\ldots$）を使って表すことができる．例えば，1から100までの自然数全体の集合は$\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$，自然数全体の集合$\mathbb{N}$は$\{1, 2, 3, \ldots\}$と表される．

内包的記法¶

内包的記法（set-builder notation）では，集合の要素が満たす条件を用いて集合を定義する．$P(x)$を条件とし，$P(x)$を満たす$x$全体の集合を$\{x \mid P(x)\}$と表す．

例えば，$[0, 1]$の区間に含まれる実数全体の集合は$\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}$，5以上10未満の整数全体の集合は$\{x \in \mathbb{Z} \mid 5 \leq x < 10\}$と表される．

特別な集合¶

• $\mathbb{Z}$：整数全体の集合
• $\mathbb{N}$：自然数全体の集合
• $\mathbb{Q}$：有理数全体の集合
• $\mathbb{R}$：実数全体の集合
• $\mathbb{R}^+$：正の実数全体の集合

集合の包含関係¶

• 部分集合（Subset）：集合$A$のすべての元が集合$B$の元であるとき，$A \subseteq B$と表す．$A$は$B$の部分集合であるという．
• 相等（Equality）：集合$A$と$B$が同じ元から構成されているとき，$A = B$と表す．すなわち，$A \subseteq B$かつ$B \subseteq A$が成り立つ．
• 真部分集合（Proper subset）：$A \subseteq B$かつ$A \neq B$のとき，$A \subset B$と表す．

順序組¶

順序組（Tuple，タプル）は，複数の対象を順序を持って並べたものである．$n$個の対象を並べた順序組を$n$-組（$n$-tuple）という．

$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$，$(b_1, b_2, \ldots, b_n)$を二つの$n$-組とするとき，

であるためには，$a_1 = b_1$，$a_2 = b_2$，$\ldots$，$a_n = b_n$でないといけない．例えば，$(1, 2) \neq (2, 1)$である．

2-組を特に順序対（ordered pair）という．例えば，$a$，$b$を二つの対象とするとき，$a$，$b$の順序対（ordered pair）は$(a, b)$で表される．

集合算¶

和集合（Union）¶

$A$，$B$を二つの集合とするとき，

を$A$と$B$の和集合という．

共通部分（Intersection）：¶

$A$，$B$を二つの集合とするとき，

を$A$と$B$の共通部分という．

差集合（Difference）¶

$A$，$B$を二つの集合とするとき，

を$A$と$B$の差集合という．$A - B$と書くこともある．

補集合（Complement）¶

$\Omega$を全体集合とするとき，集合$A$の補集合は$\Omega \setminus A$である．$A^c$または$\bar{A}$と書くこともある．

直積（Cartesian product）¶

$A$，$B$を二つの集合とするとき，$A$と$B$の直積は

である．例えば，$\{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\}$である．

冪乗集合（Power set）¶

$A$を集合とするとき，$A$のすべての部分集合からなる集合を$A$の冪乗集合といい，記号$\mathcal{P}(A)$や$2^A$で表す．例えば，$A = \{1, 2\}$のとき，$\mathcal{P}(A) = 2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$である．