操作記述 - Relational Database

Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them.

John von Neumann

学習目標¶

和両立を理解し，与えられたリレーションが和両立か判定できる．
リレーション代数の基本演算を理解し，計算できる．
与えられたリレーションに対して，目的に応じた演算を適用できる．

リレーショナル代数¶

リレーショナル代数（relational algebra）はエドガー・F・コッドによって提案された，リレーションとして表現されたデータを操作するための代数的な演算の体系である．それを実装したデータベース言語はSQLである．

リレーション代数は次の基本演算から構成される．

和集合演算
差集合演算
共通集合演算
直積演算
射影演算
選択演算
結合演算
商演算

和両立¶

和集合演算¶

Example

ある大学のプログラミングとデータベースの授業を受講する学生を表すリレーションプログラミングとデータベースがある．

プログラミング(学籍番号, 氏名, 学科)

学籍番号	氏名	学科
202464	田中花子	機械工学科
202487	山田太郎	機械工学科
...	...	...

データベース(学籍番号, 氏名, 学科)

学籍番号	氏名	学科
202464	田中花子	機械工学科
202490	佐藤次郎	情報工学科
...	...	...

プログラミングとデータベースの和集合は，プログラミングまたはデータベースの授業を受講する学生を表すリレーションである．

学籍番号	氏名	学科
202464	田中花子	機械工学科
202487	山田太郎	機械工学科
202490	佐藤次郎	情報工学科
...	...	...

集合は異なる元の集まりであるため，重複するタプルは除かれる．

差集合演算¶

共通集合演算¶

直積演算¶

Example

商品（商品番号，商品名）

商品番号	商品名
1	りんご
2	みかん

店舗（店舗番号，店舗名）

店舗番号	店舗名
A	A店
B	B店

商品と店舗の直積は，商品と店舗の全ての組み合わせを表すリレーションである．

商品.商品番号	商品.商品名	店舗.店舗番号	店舗.店舗名
1	りんご	A	A店
1	りんご	B	B店
2	みかん	A	A店
2	みかん	B	B店

射影演算¶

Example

商品（商品番号，商品名，価格）

商品番号	商品名	価格
1	りんご	100
2	みかん	80

商品の商品番号と商品名の射影は，商品番号と商品名のみを抽出したリレーションである．

商品番号	商品名
1	りんご
2	みかん

選択演算¶

Definition

$R(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ をリレーション， $A_i$ と $A_j$ を $\theta$ -比較可能な属性とする．ここに， $\theta$ は比較演算子（ $=, \neq, <, \leq, >, \geq$ ）である． $R$ の $A_i$ と $A_j$ 上の $\theta$ -選択を $R\left[A_i \theta A_j\right]$ で表す．その定義は次の通りである．

R\left[A_i \theta A_j\right]= \{t \mid t \in R \text{ and } t[A_i] \theta t[A_j]\}

(6)

ここに， $A_i$ と $A_j$ が $\theta$ -比較可能とは，次の2つの条件を満たすことである．

$\text{dom}(A_i) = \text{dom}(A_j)$
$t[A_i] \theta t[A_j]$ の真か偽が定義されている

$R(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ の属性 $A_i$ と $c$ に関する $\theta$ -選択を $R\left[A_i \theta c\right]$ で表す．

R\left[A_i \theta c\right]= \{t \mid t \in R \text{ and } t[A_i] \theta c\}

(7)

Example

商品（商品番号，商品名，価格）

商品番号	商品名	価格
1	りんご	100
2	みかん	80

商品の価格が100円以上の商品を抽出するための選択演算は，次のようになる．

\text{商品}\left[\text{価格} \geq 100\right]

(8)

商品番号	商品名	価格
1	りんご	100

結合演算¶

Example

社員（社員番号，社員名，部署）

社員番号	氏名	部署
1	田中	E1
2	山田	K2
3	佐藤	E1

部署（部署番号，部署名）

部署番号	部署名
E1	営業
K4	開発

$\text{社員}\left[\text{部署} = \text{部署番号}\right] \text{部署}$ の結果は，次のようになる．

社員.社員番号	社員.氏名	社員.部署	部署.部署番号	部署.部署名
1	田中	E1	E1	営業
2	山田	K2	K2	開発
3	佐藤	E1	E1	営業

商演算¶

Example

学生テーブル

学籍番号	氏名
202401	山田太郎
202402	田中花子
202403	佐藤次郎
202404	鈴木一郎

履修テーブル

学籍番号	科目
202401	プログラミング
202401	データベース
202402	データベース
202402	ゲーム理論
202403	プログラミング
202403	データベース

プログラミングとデータベースの両方を履修している学生を検索することを考える．このとき，科目テーブルを次のようになる．

科目

科目
プログラミング
データベース

このとき，履修 ÷ 科目の結果は，次のようになる．

学籍番号
202401
202403

リレーショナル代数表現¶

実リレーション（base relation）はデータベースに実際に格納されているリレーションである．リレーション演算から得られた結果もリレーションである．そのようなリレーションを導出リレーション（derived relation）と呼ぶ．

Definition

リレーショナル代数表現（Relational Algebra Expression）

リレーショナルデータベースの実リレーション $R$ は表現である．
$R$ と $S$ を表現とするとき， $R$ と $S$ が和両立であるなら， $R \cup S$ ， $R - S$ ， $R \cap S$ は表現である．
$R$ と $S$ を表現とするとき， $R \times S$ は表現である．
$R$ を表現とするとき， $R[X]$ は表現である．
$R$ を表現とするとき， $R\left[A_i \theta A_j\right]$ ， $R\left[A_i \theta c\right]$ は表現である．
$R$ と $S$ を表現とするとき， $R \left[A_i \theta B_j\right] S$ は表現である．
$R$ と $S$ を表現とするとき， $R \div S$ は表現である．
以上の定義によって得られた表現のみがリレーショナル代数表現である．

演習¶

リレーション学生（学籍番号，学生名，学部），内定（学籍番号，法人番号，職種），会社（法人番号，会社名，所在地）があるとする．

問１すべての学生の全データを求めよ．

学生

問２理工学部の学生の全データを求めよ．

学生[学部 = ‘理工’]

問３内定先を決まっている学生の学籍番号を求めよ．

内定[‘学籍番号’]

問４内定先を決まっていない理工学部の学生の学籍番号を求めよ．

学生[学部 = ‘理工’][‘学籍番号’] - 内定[‘学籍番号’]

問５理工学部の学生の内定先の法人番号を求めよ．

((学生[‘学籍番号’ = ‘学籍番号’]内定)[学生.学部 = ‘理工’])[内定.法人番号]

問６法人番号が’0001’の会社の内定を受けた学生の学籍番号と学生名を求めよ．

((学生[‘学籍番号’ = ‘学籍番号’]内定)[内定.法人番号 = ‘0001’])[学生.学籍番号, 学生.学生名]

練習問題¶

自由に設定したテーマに基づいてリレーショナルデータベースのスキーマを定義し、それを用いてすべての基本的なリレーショナル代数演算を含む例題を作成し、その解答を示しなさい。