記数法 - Computer Literacy

凡算之法、先識其位。

「孫子算経」

ここでは、10進数、2進数、8進数、16進数の記数法について学ぶ。学習の目標は次の通りである：

位取り記数法を理解する
任意の記数法から10進数への変換ができる
10進数から他の記数法への変換ができる
2進数、8進数、16進数の相互変換ができる
ビットとバイトの概念を理解する

10進数¶

私たちが日常的に使っている10進法は、0から9の数字を用いて数を表現する。各数字の位置によってその値が決まる。例えば、123という数は、以下のように表現される：

123 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0

(1)

このように、各数字の位置によってその値が決まる記数法を位取り記数法（くらいどりきすうほう、positional notation）と呼ぶ。

一般に、 $d_n$ をn桁目の数字、 $N$ を10進数の数とすると、以下の式が成り立つ：

N = d_n \times 10^{n-1} + d_{n-1} \times 10^{n-2} + \ldots + d_1 \times 10^0

(2)

他の記数法と底¶

底（base）とは、使用する数字の種類の数である。10進法では0から9までの10種類の数字を使用するため、底は10である。

2進法では0と1の2種類の数字を使用し、底は2である。
8進法では0から7までの8種類の数字を使用し、底は8である。
16進法では0から9とAからFまでの16種類の数字を使用し、底は16である。

2進法は、2を底とする位取り記数法であり、0と1を使用し、数を表現する。そのため、0, 1の次には1桁を追加して10となり、次は11、100、101と続く。

以下に、10進数、2進数、8進数、16進数の対応表を示す：

10進数	2進数	8進数	16進数
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

ここからは、下付き文字を用いて、底を示すことにする。例えば、2進数の101は、 $\texttt{101}_2$ と表記する。10進数の123は、 $\texttt{123}_{10}$ と表記する。

やってみよう¶

10進数の1~10を3進数で書いてみよう。

他の記数法から10進数への変換¶

上記の表を見るとわかるように、2進数2桁目の1は10進数の2で、3桁目の1は10進数の2²である。つまり、2進数を10進数に変換する際は、下記のように計算することができる：

d_n \times 2^{n-1} + d_{n-1} \times 2^{n-2} + \ldots + d_1 \times 2^0 = N_{10}

(3)

例えば、2進数の1001₂を10進数に変換する場合、以下のように計算する：

1001_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 9_{10}

(4)

$d_n$ をn桁目の数字、 $R$ を底、 $N$ を10進数の数とすると、以下の式が成り立つ：

N_{10} = d_n \times R^{n-1} + d_{n-1} \times R^{n-2} + \ldots + d_1 \times R^0

(5)

また、以下のように書くこともできる：

N_{10} = \sum_{i=1}^{n} d_i \times R^{i-1}

(6)

例えば、3進数の102₃を10進数に変換する場合、以下のように計算する：

102_3 = 1 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 11_{10}

(7)

また、16進数の $\texttt{1A3F}_{16}$ を10進数に変換する場合、以下のように計算する：

\texttt{1A3F}_{16} = 1 \times 16^3 + 10 \times 16^2 + 3 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 6719_{10}

(8)

これは、16進数のAが10に相当し、Fが15に相当するからである。

やってみよう¶

次の数を10進数に変換せよ。

1101₂
73₈
$\texttt{CAFE}_{16}$

2進法、8進法、16進法¶

2進法、8進法、16進法は、全て2の累乗を底とする記数法であるため、変換は簡単に行える。

2進数	16進数
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

2進数の4桁ごとに16進数の1桁に対応する。例えば、2進数の1010110₂は、4桁ごとに区切ると $0101\ 0110$ となり、これを16進数に変換すると56₁₆となる。

16進数を2進数に変換する場合は、各16進数の桁を4桁の2進数に変換すればよい。例えば、16進数の $\texttt{1A3F}_{16}$ は、以下のように変換される：

\texttt{1A3F}_{16} = 0001\ 1010\ 0011\ 1111_2

(9)

8進法も同様に、3桁の2進数に対応する。

2進数	8進数
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

2進数の3桁ごとに8進数の1桁に対応する。例えば、

1010110_2 = 001\ 010\ 110_2 = 126_8

(10)

やってみよう¶

次の数を16進数と8進数に変換せよ。

11010110₂
101110011₂
1111000100101001₂

次の数を2進数に変換せよ。

$\texttt{1A3F}_{16}$
$\texttt{7B2}_{16}$
$\texttt{35}_{8}$

10進数から他の記数法への変換¶

10進数から他の記数法への変換は、下記の手順で行うことができる：

与えられた値を底で割り、商と余りを求める。
商が0になるまで繰り返す。
商が0になったら、余りを逆順に並べる。

例えば、10進数の113₁₀を2進数に変換する場合、以下のように計算する：

113 \div 2 = 56 \quad R_1 = 1 \\ 56 \div 2 = 28 \quad R_2 = 0 \\ 28 \div 2 = 14 \quad R_3 = 0 \\ 14 \div 2 = 7 \quad R_4 = 0 \\ 7 \div 2 = 3 \quad R_5 = 1 \\ 3 \div 2 = 1 \quad R_6 = 1 \\ 1 \div 2 = 0 \quad R_7 = 1

(11)

余りを逆順に並べると、1110001₂となる。

検算として、1110001₂を10進数に戻すと：

1110001_2 = 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^0 = 113_{10}

(12)

もう一つの例として、10進数の268₁₀を16進数に変換する場合、以下のように計算する：

268 \div 16 = 16 \quad R_1 = 12 \\ 16 \div 16 = 1 \quad R_2 = 0 \\ 1 \div 16 = 0 \quad R_3 = 1

(13)

余りを逆順に並べると、 $\texttt{10C}_{16}$ となる。

やってみよう¶

次の10進数を2進数、8進数、16進数に変換せよ。

45₁₀
100₁₀
255₁₀

ビットとバイト¶

情報量の最小単位はビット（bit）である。bitはbinary digit（2進数の桁）を略したもので、2進法の1桁分の情報を表す。バイト（byte）は、通常は8 bitで構成される。

例えば、 $\texttt{0101 0010}_{2}$ の情報量は8 bitであり、1 byteに相当する。

1 bitは0または1のいずれかの値をとる。そのため、1 bitは2種類の物事を表現できる。例えば、電源のオン/オフ、陽性/陰性、真/偽などである。

ビット数が増えると、表現できる種類も増える。2 bitでは、00、01、10、11の4種類を表現できる。8 bitは256種類（2⁸）を表現できる。

1 Bit	2 Bit	3 Bit
0	00	000
1	01	001
	10	010
	11	011
		100
		101
		110
		111

一般に、 $n$ bitは $2^n$ 種類の情報を表現できる。

ビットパターン¶

このように、より複雑な情報を表現するために、複数のビットを並べるものはビット列（bit string）と呼ばれる。

コンピューターが扱うデータは、一般的に8, 16, 32, 64ビットなど、2の累乗のビット数で構成される。特定のビット数を持つデータは、ビットパターン（bit pattern）と呼ばれる。ビットパターンは，数値，文字，画像，音声など、様々なデータを表現するために使用される．

ビットパターンを2進数で表現すると非常に長くなる場合があるため、16進数を使用することも多い．1 byteは16進数では2桁で表現できる。例えば、8 bitのビットパターン10101100₂は、16進数では $\texttt{AC}_{16}$ と表現される。

練習問題¶

情報量の最小単位は____である。一般に、 $n$ bitは____の種類を表現できる。また、8 bitは1 ____に相当する。

まとめ¶

日本語	英語
10進数	decimal number
2進数	binary number
8進数	octal number
16進数	hexadecimal number
位取り記数法	positional notation

練習問題¶

google classroom

解答例¶

3進数：
- $1_{10} = 1_3$
- $2_{10} = 2_3$
- $3_{10} = 10_3$
- $4_{10} = 11_3$
- $5_{10} = 12_3$
- $6_{10} = 20_3$
- $7_{10} = 21_3$
- $8_{10} = 22_3$
- $9_{10} = 100_3$
- $10_{10} = 101_3$
他の記数法から10進数への変換
- $1101_2 = 13_{10}$
- $73_8 = 59_{10}$
- $\texttt{CAFE}_{16} = 51966_{10}$
2進数、8進数、16進数の相互変換
- 省略
10進数から他の記数法への変換
- $45_{10} = 101101_2 = 55_8 = \texttt{2D}_{16}$
- $100_{10} = 1100100_2 = 144_8 = \texttt{64}_{16}$
- $255_{10} = 11111111_2 = 377_8 = \texttt{FF}_{16}$

情報の表現

文字コード