集合

集合#

集合（Set）とは、「ものの集まり」のことである．集合は，普通\(A\)，\(B\)，\(C\)などの大文字のアルファベットで表される．集合を構成している一つ一つのものを要素または元（element）という．

元を一つも持たない集合を空集合（empty set）といい，記号\(\emptyset\)で表す．

無限の元を持つ集合は無限集合，有限の元を持つ集合は有限集合と呼ばれる．

議論するすべての元があるひとつの集合に属する場合，その集合を全体集合（universal set）という．

帰属関係#

対象\(x\)が集合\(S\)の元であることを

\[x \in S\]

と書き，「\(x\)が\(S\)に属する」，「\(x\) is an element of \(S\)」などと読む．\(x\)が\(S\)の元でないことを

\[x \notin S\]

と書く．

記法#

外延的記法#

外延的記法（roster notation）では，集合のすべての要素を列挙する．例えば，\(10\)より小さい正の奇数全体の集合は\(\{1, 3, 5, 7, 9\}\)，四季の集合は\(\{\text{春}, \text{夏}, \text{秋}, \text{冬}\}\)と表される．

集合が多くの要素を持つ場合は，省略記号（\(\ldots\)）を使って表すことができる．例えば，\(1\)から\(100\)までの自然数全体の集合は\(\{1, 2, 3, \ldots, 100\}\)，自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)は\(\{1, 2, 3, \ldots\}\)と表される．

内包的記法#

内包的記法（set-builder notation）では，集合の要素が満たす条件を用いて集合を定義する．\(P(x)\)を条件とし，\(P(x)\)を満たす\(x\)全体の集合を\(\{x \mid P(x)\}\)と表す．

例えば，\([0, 1]\)の区間に含まれる実数全体の集合は\(\{x \mid 0 \leq x \leq 1\}\)，\(5\)以上\(10\)未満の整数全体の集合は\(\{x \in \mathbb{Z} \mid 5 \leq x < 10\}\)と表される．

特別な集合#

  • \(\mathbb{Z}\)：整数全体の集合

  • \(\mathbb{N}\)：自然数全体の集合

  • \(\mathbb{Q}\)：有理数全体の集合

  • \(\mathbb{R}\)：実数全体の集合

  • \(\mathbb{R}^+\)：正の実数全体の集合

集合の包含関係#

  • 部分集合（Subset）：集合\(A\)のすべての元が集合\(B\)の元であるとき，\(A \subseteq B\)と表す．\(A\)は\(B\)の部分集合であるという．

  • 相等（Equality）：集合\(A\)と\(B\)が同じ元から構成されているとき，\(A = B\)と表す．すなわち，\(A \subseteq B\)かつ\(B \subseteq A\)が成り立つ．

  • 真部分集合（Proper subset）：\(A \subseteq B\)かつ\(A \neq B\)のとき，\(A \subset B\)と表す．

順序組#

順序組（Tuple，タプル）は，複数の対象を順序を持って並べたものである．\(n\)個の対象を並べた順序組を\(n\)-組（\(n\)-tuple）という．

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)\)，\((b_1, b_2, \ldots, b_n)\)を二つの\(n\)-組とするとき，

\[(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\]

であるためには，\(a_1 = b_1\)，\(a_2 = b_2\)，\(\ldots\)，\(a_n = b_n\)でないといけない．例えば，\((1, 2) \neq (2, 1)\)である．

\(2\)-組を特に順序対（ordered pair）という．例えば，\(a\)，\(b\)を二つの対象とするとき，\(a\)，\(b\)の順序対（ordered pair）は\((a, b)\)で表される．

集合算#

和集合（Union）#

\(A\)，\(B\)を二つの集合とするとき，

\[A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\}\]

を\(A\)と\(B\)の和集合という．

共通部分（Intersection）：#

\(A\)，\(B\)を二つの集合とするとき，

\[A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}\]

を\(A\)と\(B\)の共通部分という．

差集合（Difference）#

\(A\)，\(B\)を二つの集合とするとき，

\[A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B\}\]

を\(A\)と\(B\)の差集合という．\(A - B\)と書くこともある．

補集合（Complement）#

\(\Omega\)を全体集合とするとき，集合\(A\)の補集合は\(\Omega \setminus A\)である．\(A^c\)または\(\bar{A}\)と書くこともある．

直積（Cartesian product）#

\(A\)，\(B\)を二つの集合とするとき，\(A\)と\(B\)の直積は

\[A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\]

である．例えば，\(\{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\}\)である．

冪乗集合（Power set）#

\(A\)を集合とするとき，\(A\)のすべての部分集合からなる集合を\(A\)の冪乗集合といい，記号\(\mathcal{P}(A)\)や\(2^A\)で表す．例えば，\(A = \{1, 2\}\)のとき，\(\mathcal{P}(A) = 2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\)である．